Probabilités conditionnelles
Probabilité de A sachant B.
Soient Aet Bdeux événements, l’événement Bétant de probabilité non nulle. La probabilité de l’événement Asachant que l’événementBest réalisé est notéepB(A)(ou aussi p(A\B)). Elle est donnée par la formule
pB(A) = p(A∩B) p(B) . On en déduit que
p(A∩B) =p(B)×pB(A).
Evénements indépendants
SoientAet Bdeux événements.
AetBsont indépendants si et seulement sip(A∩B) =p(A)×p(B).
Si de plusp(A)6=0,
AetBsont indépendants si et seulement sipA(B) =p(B).
Variables aléatoires discrètes indépendantes
SoientXetY deux variables aléatoires discrètes prenant respectivement les valeursx1, . . . , xn ety1, . . . ,ym. XetY sont des variables aléatoires indépendantes si et seulement si
pour tout entieritel que 16i6net pour tout entierjtel que 16j6m p((X=xi)∩(Y=yi)) =p(X=xi)×p(Y=yj).
Formule des probabilités totales
A1,A2, . . . ,An sontnévénements (nétant un entier naturel supérieur ou égal à2) tels que :
• chaque événementAi a une probabilité non nulle,
• deux événements quelconquesAiet Aj,i6=j, sont incompatibles (c’est-à-dire que pour tous entiers distinctsi etj tels que16i6net16j6non ap(Ai∩Aj) =0),
• la réunion des événementsA1,A2, . . . ,An est l’ensemble des cas possiblesΩ.
Alors, pour tout événementB
p(B)=p(B∩A1) +p(B∩A2) +. . .+p(B∩An)
=p(A1)×pA1(B) +p(A2)×pA2(B) +. . .+p(An)×pAn(B).
c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr
