Variables aléatoires discrètes
Notations.
Ω, E sont des ensembles nis munis respectivement des algèbresP(Ω)etP(E).
Pdésigne une mesure de probabilité sur(Ω,P(Ω)).
Pour tout entier natureln,Nn=J0, nK.
I - Variables aléatoires
I.1 - Loi d'une variable aléatoire Définition 1 (Variable aléatoire discrète).
Une variable aléatoire discrète est une fonction X : Ω→ E. La variable aléatoireX est une variable aléatoire réelle si E est une partie de R.
Exercice 1.
1. Pour chacun des exemples suivants, déterminer les ensembles Ω et E. Soient n ∈ N? et i∈J1, nK. On lance un dé équilibré à 6faces nfois et on considère la variable aléatoire
a)Xi : résultat dui-ème lancer.
b)S : somme de tous les lancers.
2. Soient n et p deux entiers naturels. Déterminer le nombre de variables aléatoires dénies de (Nn,P(Nn))dans(Np,P(Np)).
Notations.
SoitA⊂E etX(Ω) ={x1, . . . , xn}.X−1(A) ={ω∈Ω ; X(ω)∈A}={X∈A}.
X−1({xi}) ={ω∈Ω ; X(ω) =xi}={X =xi}. Définition 2 (Loi).
Soit X une variable aléatoire discrète dénie sur un ensemble probabilisé(Ω,P(Ω),P). (i). La loi de X, notée PX, est la probabilité dénie sur(X(Ω),P(X(Ω)))parPX({x}) =
P(X =x).
(ii). Deux variables aléatoires X et Y sont de même loi, noté X ∼ Y, siX(Ω) = Y(Ω) et pour tout x∈X(Ω),P(X=x) =P(Y =x).
(iii). S'il existe c ∈ E tel que P(X = c) = 1, la variable aléatoire X est presque sûrement constante.
Notation.
La loi deX désigne indiéremment la mesure de probabilité PX surP(E), le vecteur(P(X = x))x∈X(Ω) ou la fonction fX : x 7→P(X =x). Le terme de distribution de probabilités est un synonyme de loi de probabilité.
Exercice 2.On lance deux dés équilibrés et on noteS la somme des valeurs obtenues. Déterminer la loi deS.
Théorème 1.
Soit X une variable aléatoire discrète et f : X(Ω) → E. Notons f(X(Ω)) = {y1, . . . , yp}. Alors, f(X)est une variable aléatoire et pour tout i∈J1, pK,
Pf(X)({yi}) =PX(f−1({yi})).
Exercice 3.On eectue deux lancers successifs d'une pièce de monnaie équilibrée. On dénit la variable aléatoire X1 (resp. X2) par 1 si la première (resp. seconde) pièce renvoie face et−1 si elle renvoie pile. On poseS =X1+X2. Déterminer les lois deS, de |S|et deS2.
I.2 - Exemples
Définition 3 (Loi uniforme).
Soit E ={x1, . . . , xn}. Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur E, notéX ∼U(E), si pour touti∈J1, nK,
P(X=xi) = 1 n.
Exercice 4.Décrire un modèle où cette loi apparaît naturellement.
Définition 4 (Loi de Bernoulli).
Soitp∈[0,1]. Une variable aléatoireXsuit la loi de Bernoulli de paramètrep, notéX ∼B(p), si
P(X= 1) =p= 1−P(X = 0).
Exercice 5.Décrire un modèle où cette loi apparaît naturellement.
Définition 5 (Loi binomiale).
Soient p∈[0,1]et n∈N?. Une variable aléatoire X suit la loi binomiale, notéX ∼B(n, p), si pour toutk∈J0, nK,
P(X=k) = n
k
pk(1−p)n−k.
Exercice 6.
1. Décrire un modèle où cette loi apparaît naturellement.
2. On considère nlancers consécutifs d'un dé à 3 faces numérotées 1,2,3 dont les probabilités d'occurrence sontp, qet1−p−q. On noteX le vecteur constitué du nombre de1, de2 et de3 accumulés au cours de ces lancers. Déterminer la loi de X. Généraliser ce résultat à un dé à m faces.
3. Soient λ > 0 et (pn) une suite telle que n·pn → λ. Soit Xn une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres(n, pn). Montrer que pour tout k∈N,
n→∞lim P(Xn=k) =e−λλk k!.
Définition 6 (Loi hypergéométrique).
Soient N1, N2, ntrois entiers naturels. Une variable aléatoire X suit la loi hypergéométrique, notéX ∼H(N1, N2, n), si pour toutk∈J0, nK,
P(X=k) =
N1
k
N2
n−k
N1+N2
n
.
Exercice 7. (Loto)Une grille de loto est composée de49nombres. Parmi ces nombres, vous pouvez en cocher6. Lors du tirage, parmi les boules numérotés de1à49,6boules sont tirées sans remise.
Pour toutk∈J0,6K, déterminer la probabilité que vous ayez coché exactementkbons numéros.
I.3 - Fonctions de répartition d'une variable aléatoire réelle Définition 7 (Fonction de répartition).
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. La fonction de répartition de X est la fonction FX dénie pour tout réelx parFX(x) =P(X6x).
Exercice 8.Soit X le nombre de piles obtenues lors du lancer d'une pièce de monnaie biaisée.
Représenter graphiquementFX. Propriétés 1.
SoientX une variable aléatoire réelle discrète,n∈NetX(Ω) ={xk, k∈Nn}. (i). FX est croissante.
(ii). Pour tout k∈Nn,FX est continue à droite et admet une limite à gauche en xk. (iii). Pour tout x∈R\X(Ω),FX est continue enx.
(iv). lim
x→+∞FX(x) = 1et lim
x→−∞FX(x) = 0.
Exercice 9.
1. Représenter graphiquementFX.
2. Pour toutk∈Nn, exprimerP(X =xk) en fonction deFX. II - Moments d'une variable aléatoire réelle
II.1 - Espérance Définition 8 (Espérance).
Soient X une variable aléatoire discrète réelle et X(Ω) = {xk, k ∈ Nn}. L'espérance, ou moyenne, de X, notée E[X], est le réel
E[X] = X
k∈Nn
xkP(X=xk).
SiE[X] = 0, la variable aléatoire est centrée.
Exercice 10.Déterminer l'espérance d'une variable aléatoire de loi . . . 1. . . . constante presque sûrement.
2. . . . uniforme surJ0, nK.
3. . . . de Bernoulli.
4. . . . binomiale.
5. . . . hypergéométrique.
Propriétés 2.
SoientX, Y des variables aléatoires discrètes réelles eta∈R.
(i). E[1] = 1.
(ii). Si X>0, alors E[X]>0. (iii). E[aX] =aE[X].
(iv). |E[X]|6E[|X|].
Théorème 2 (Théorème de transfert).
SoientX une variable aléatoire discrète à valeurs dans {xk, k∈Nn} etg :X(Ω)→R. Alors,
E[g(X)] = X
k∈Nn
g(xk)·P(X=xk).
Propriété 3 (Probabilité & Espérance). Pour tout A⊂Ω,P(A) =E[1A].
Exercice 11.Retrouver l'égalitéP(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)puis revisiter la formule du crible.
Théorème 3 (Inégalité de Markov).
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. Pour toutε >0, P(|X|>ε)6 E[|X|]
ε .
Exercice 12.
1.Une pièce biaisée renvoie face avec probabilité1/10. Cette pièce est lancée successivement200 fois. Déterminer une majoration de la probabilité qu'elle renvoie face au moins120fois.
Une borne bien meilleure peut être obtenue avec l'inégalité de Cherno.
2. Dans une journée, un postier trie en moyenne 10 000 lettres par jour. Majorer la probabilité qu'il traite au moins15 000 lettres aujourd'hui.
II.2 - Moments d'ordres supérieurs Définition 9 (Moment, Variance).
Soit X une variable aléatoire discrète réelle.
(i). Soitk∈N. Le moment d'ordre kde la variable X est le réel E[Xk]. (ii). La variance de X, notéeV(X) ouV ar(x), est le réel
V(X) =E
(X−E[X])2 .
SiV(X) = 1, la variable aléatoire est réduite.
Exercice 13.Déterminer la variance d'une variable aléatoire de loi . . . a). . . constante presque sûrement.
b). . . uniforme surJ0, nK.
c). . . de Bernoulli.
d). . . binomiale.
Propriétés 4.
SoientX une variable aléatoire discrète réelle eta, b∈R.
(i). V(X)>0 avec égalité si et seulement siX est presque sûrement constante.
(ii). V(X) =E[X2]−E[X]2. (iii). V(aX+b) =a2V(X). Définition 10 (Écart-type).
SoitXune variable aléatoire réelle discrète. L'écart-type deX, notéσ(X), est le réelp V(X).
Exercice 14. Soit X une variable aléatoire discrète réelle. Montrer que Xσ(X−E[X) ] est centrée et réduite.
Théorème 4 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev).
Soit X une variable aléatoire réelle discrète. Pour toutε >0, P(|X−E[X]|>ε)6 V(X)
ε2 .
Exercice 15.Un postier traite en moyenne 10 000lettres par jour avec une variance de 2 000. 1. Minorer la probabilité qu'il traite entre8 000 et12 000lettres aujourd'hui.
2. Majorer la probabilité qu'il traite plus de15 000lettres aujourd'hui.
III - Loi conjointe III.1 - Loi conjointe Définition 11 (Loi conjointe).
Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes. La loi conjointe du couple (X, Y) est la probabilité dénie surX(Ω)×Y(Ω)par
fX,Y(x, y) =P({X =x} ∩ {Y =y}).
Exercice 16.On considère une pièce de monnaie qui renvoie face avec probabilité p. Soit X la variable aléatoire valant1si la pièce renvoie face et −1sinon. On poseY = 1−X2 . Déterminer la loi du couple (X, Y).
Théorème 5 (Théorème de transfert).
Soit(X, Y)un couple de variables aléatoires discrètes à valeurs dansE×F etg : E×F →R.
Alors,
E[g(X, Y)] =X
x,y
g(x, y)fX,Y(x, y).
Exercice 17.En reprenant les notations de l'exercice précédent, déterminer E[X +Y] de deux manières diérentes.
III.2 - Marginales Définition 12 (Marginales).
Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires discrètes. Les lois marginales de (X, Y)sont
fX(x) = X
y∈Y(Ω)
fX,Y(x, y),
fY(y) = X
x∈X(Ω)
fX,Y(x, y).
Exercice 18.
1. Reprendre l'exercice des feuilles et du tiroir en explicitant les lois conjointes ainsi que les marginales.
2. Loi de Benford. On choisit un nombre aléatoire dans une base de données mesurées et on note X etY ses deux premiers chires signicatifs. La loi du couple (X, Y) est
fX,Y(x, y) = log
1 + 1
10·x+y
.
Déterminer les lois marginales de X et de Y et vérier que fX,Y est bien une distribution de probabilités.
3.Identier deux couples de variables aléatoires dont les marginales sont égales mais qui ont des lois distinctes.
Propriété 5 (Linéarité de l’espérance).
SoientX, Y des variables aléatoires réelles discrètes etaun réel. Alors,E[X+Y] =E[X]+E[Y].
Exercice 19.Soient n ∈ N et (Xi)i∈Nn une suite de variables aléatoires de loi de Bernoulli de paramètre p. On pose Sn=
Pn
i=1
Xi. 1. CalculerE[Sn].
2. MajorerE[|Sn|]. 3. DéterminerV(Sn). III.3 - Covariance
Théorème 6 (Inégalité de Cauchy-Schwarz).
SoientX, Y deux variables aléatoires réelles discrètes.
|E[XY]|6p
E[X2]·p E[Y2].
Définition 13 (Covariance).
Soient X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes. La covariance de X et Y, notée Cov(X, Y)est le réel
Cov(X, Y) =E[(X−E[X])·(Y −E[Y])].
Exercice 20.Montrer que si X1, . . . , Xn sont des variables aléatoires réelles, alorsV n
P
k=1
Xk
=
n
P
k=1
V(Xk) + 2 P
16i<j6k
Cov(Xi, Xj).
Propriétés 6.
(i). Cov(X, Y) =Cov(Y, X).
(ii). Cov(aX+b, Y) =a·Cov(X, Y). (iii). Cov(X, X) =V(X).
(iv). Cov(X, Y) =E[X·Y]−E[X]·E[Y].
Exercice 21.LorsqueX etY ne sont pas presque sûrement constantes, leur coecient de corré- lation est le réel ρ= √Cov(X,Y)
V(X)·V(Y). Montrer que ρ∈[−1,1]. De plus, ρ∈ {−1,1} si et seulement s'il existea, b, créels tels que P(aX+bY =c) = 1.
III.4 - Indépendance Définition 14 (Indépendance).
Soient X, Y deux variables aléatoires discrètes dénies sur un même espace probabilisé (Ω,P(Ω),P). Les variables aléatoires X et Y sont indépendantes si pour tout (x, y) ∈ X(Ω)×Y(Ω), les événements{X =x} et{Y =y}sont indépendants.
Exercice 22.SoientX etY deux variables aléatoires indépendantes.
1. Montrer que pour tout (A, B) ∈ P(X(Ω))×P(Y(Ω)), P(X∈A, Y ∈B) = P(X ∈A) · P(X∈B).
2. Montrer que pour tout(x, y)∈X(Ω)×Y(Ω),fX,Y(x, y) =fX(x)·fY(y).
3. SoitX une variable aléatoire telle que X est indépendante deX. Que dire de X?
4. Soient Ω un ensemble de cardinal p et(X1, . . . , Xn) des variables aléatoires sur Ω à valeurs dansNq. Comparern, p etq.
Propriété 7.
SoientXetY deux variables aléatoires discrètes à valeurs dansEindépendantes etg, h : E → F. Alors,g(X) eth(Y)sont indépendantes.
Théorème 7 (Espérance & Indépendance).
Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantes etf, g deux fonctions à valeurs réelles.
Alors,
E[f(X)g(Y)] =E[f(X)]·E[g(Y)].
Exercice 23.
1. On considère deux feuilles qui sont rangées aléatoirement dans deux tiroirs. On note X le nombre de feuilles dans le premier tiroir et Y le nombre de tiroirs vides. Calculer E[X], E[Y], puisE[XY]. Ces variables aléatoires sont-elles indépendantes ?
2. Avec les hypothèses du théorème, on suppose que pour toutes fonctions à valeurs réellesf et g,E[f(X)g(Y)] =E[f(X)]·E[g(Y)]. Monter queX etY sont indépendantes.
Théorème 8 (Indépendance & Variance).
SoientX, Y deux variables aléatoires réelles discrètes. Si X etY sont indépendantes, alors (i). Cov(X, Y) = 0.
(ii). V(X+Y) =V(X) +V(Y).
Exercice 24.Soit X une variable aléatoire telle que P(X =−1) = P(X = 0) = P(X = 1) = 13. On note Y telle que Y =1{0}(X). CalculerCov(X, Y) puis montrer que X et Y ne sont pas indépendantes.
Définition 15.
Soient (Ω,P(Ω),P) un espace probabilité,I un ensemble ni non vide et (Xi)i∈I une famille de variables aléatoires discrètes. Les (Xi)i∈I sont mutuellement indépendantes si pour toute famille (Ai)i∈I, les événements({Xi =Ai})i∈I sont mutuellement indépendants.
Notation.
Si(Xi)i∈J1,nK est une famille de variables aléatoires indépendantes et de même loi, les variables (Xi)i∈
J1,nK sont indépendantes et identiquement distribuées, ce qui est abrégé en i.i.d.
Exercice 25. (Loi faible des grands nombres)
1. Soient(X1, . . . , Xn) des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi. On pose µ=E[X1]. Montrer que pour toutε >0,
n→+∞lim P 1 n
n
X
i=1
Xi−µ
>ε
!
= 0.
2. Avec les notations précédentes, on poseXn = X1+···+Xn n et σ2 la variance de X1. Déterminer la valeur denminimale pour laquelle on est sûr à 95%queXn est une valeur approchée de µà 10−2 près.
3.Appliquer le résultat précédent lorsqueX1 suit une loi de Bernoulli de paramètre0.49. Inter- préter ce résultat.
Théorème 9 (Bernoulli & Binomiale).
Soient (X1, . . . , Xn) des variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi de Bernouilli de paramètre p∈[0,1]. Alors, Pn
k=1
Xk suit la loi binomialeB(n, p). Exercice 26.Retrouver la variance d'une loi binomiale.
III.5 - Loi conditionnelle Définition 16 (Loi conditionnelle).
La loi conditionnelle deY sachantX=x, est dénie pour toutx∈X(Ω)tel queP(X=x)>0 par
fY|X(·|x) : y7→P(Y =y|X=x).
Exercice 27.On considère deux urnes numérotées 1 et 2. La première urne contient 50 boules blanches et50boules noires. La deuxième urne contient 1boule blanche et 99boules noires. On tire au sort de manière équiprobable une des deux urnes, puis on tire une boule dans l'urne choisie.
On noteX le numéro de l'urne choisie puisY la variable aléatoire qui vaut0si la boule tirée est blanche et1 sinon. Déterminer la loi de Y conditionnellement àX = 1puis conditionnellement àX = 2.
Propriété 8.
SoientX, Y deux variables aléatoires. fY|X = ffY,X
X . Définition 17 (Espérance conditionnelle).
Soit xtel que P(X =x)>0. L'espérance conditionnelle deY sachant X =x est la quantité
ψ(x) =E[Y|X =x]
= X
y∈Y(Ω)
y·fY|X(y|x).
L'espérance conditionnelle de Y sachant X est la variable aléatoireψ(X), notéE[Y|X].
Théorème 10 (Propriétés de l’espérance conditionnelle). (i). Projection.
E[E[Y|X]] =E[Y].
(ii). Pour tout fonction gà valeurs réelles,
E[g(X)·E[Y|X]] =E[Y ·g(X)].
Exercice 28.Une pièce renvoie face avec probabilitép. Soit Xn le nombre de lancers requis pour obtenir une succession den faces consécutives. Montrer que E[Xn] =
n
P
k=1
p−k.
IV - Fonctions génératrices Définition 18 (Fonction génératrice).
Soient n∈N et X une variable aléatoire discrète à valeurs dans Nn. La fonction génératrice de X est
gX : [0,1] → R s 7→ P
k∈Nn
P(X=k)·sk
Propriété 9.
Soient Ω un ensemble ni et X, Y deux variables aléatoires de fonctions génératrices gX et gY. Alors,X ∼Y si et seulement sigX =gY.
Exercice 29.Soit p∈[0,1]. Déterminer la fonction génératrice. . . 1. . . . de la loi de Bernoulli de paramètrep.
2. . . . de la loi binomiale de paramètrep.
Propriété 10 (Indépendance & Fonction génératrice).
Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantes de fonction génératrice gX etgY. Alors, gX+Y =gX·gY.
Exercice 30.
1.Montrer que siX1, . . . , Xnsont des variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètrep, alors Pn
k=1
Xk suit une loi binomialeB(n, p)
2. SoientX etY deux variables aléatoires à valeurs dans Nn indépendantes. Exprimer la loi de X+Y en fonction des lois de X et de Y.
3. Soient X une variable aléatoire de loi B(n, p) etY une variable aléatoire de loi B(m, p). Si X etY sont indépendantes, calculer la loi deX+Y.
4. Soient n∈N, (Xk)k∈Nn une suite variables aléatoires indépendantes et de même loi X etN une variable aléatoire à valeurs dans Nn. Déterminer la fonction génératrice de S =
N
P
k=1
Xk en fonction des fonctions génératrices deX et deN.
