PSI* — 2020/2021 — Corrigé partiel du T.D. 11a Page 1
13. Pour toutn deN∗, on notepn la probabilité qu’on n’ait jamais deux fois pile consécutivement durant nlancers successifs d’une pièce équilibrée. Calculer p1,p2,p3.
Établir une relation de récurrence entre pn,pn+1 etpn+2. Montrer quepnn−→→∞0.
Solution : notons Ppour pile etF pour face.
Évidemmentp1= 1etp2= 3
4 (un seul résultat parmi les 4 possibles donne deuxPconsécutifs !).
Pour n= 3, 8 résultats possibles dont 3 contiennent deux P consécutifs : (P,P,P), (P,P,F), (F,P,P).
Ainsi
p1 = 1,p2 = 3
4 et p3 = 5 8.
Pour obtenir la relation de récurrence, je note, pour i, j dans N tels que i < j,Si,j l’événement : “on n’a pas obtenu deux P consécutifs durant les lancers numérotés dei àj”.
Notons qu’il n’y a pas d’ambiguïté, P(Si,j) ne dépend pas du nombre n de lancers effectués au total.
Plus précisément, de par la naturesans mémoire du processus,P(Si,j) ne dépend que du nombre de lancers considéré (j−i+ 1). Cette remarque est cruciale pour le raisonnement suivant. . .
Par définition pn = P(S1,n). Je note Fk l’événement “le lancer k donne F” et j’utilise additivité et probabilités composées :
pn+2 = P(F1∩S1,n+2) +P F1∩S1,n+2
= P(S1,n+2 |F1).P (F1) +P F1∩F2∩S3,n+2
OrP(S1,n+2|F1) =P(S2,n+2)(processus sans mémoire) etF1,F2,S3,n+2 sont mutuellement indépen- dants (ne concernent que des ensembles disjoints de lancers).
Enfin, selon la remarque précédente,
P(S2,n+2) =P(S1,n+1) =pn+1 et P(S3,n+2) =P(S1,n) =pn En conclusion
pn+2= 1
2pn+1+1
4pn,cela pout toutndans N∗.
On vérifie avec plaisir quep1,p2,p3 vérifient la relation (ou alors on rectifie son étourderie du début !).
On vérifie aussi que ladite relation est vraie aussi pourn= 0à condition de poserp0 = 1(valeur somme toute logique : si l’on ne lance pas la pièce on est certain de ne pas avoir deux Pconsécutifs !).
L’équation caractéristique de cette relation de récurrence linéaire double est4r2−2r−1 = 0, dont les solutions sont
a= 1−√ 5
4 ≈ −0,3 et b= 1 +√ 5
4 ≈0,8.
On constate notamment que|a|<1et|b|<1, il en résulte quetoutesles suites vérifiant cette relation convergent vers 0, puisqu’elles s’écrivent comme combinaison linéaire des suites géométriques (an) et (bn). En particulier
(pn) converge vers 0.
Ce résultat est conforme à l’intuition : il est presque impossible de ne jamais obtenir deuxPconsécutifs en lançant sans cesse la pièce. . .
L’énoncé ne le demande pas, mais on peut bien sûr expliciter A et B réels tels que pn =Aan+Bbn pour tout n.
La théorie nous dit queAetBexistent et pour les déterminer en pratique il suffit de résoudre le système A+B=p0= 1
Aa+Bb=p1 = 1 soit
A= 1 2− 3
10
√5
B= 1 2 + 3
10
√5 et finalement
∀n∈N pn= 1 2
1 +√ 5 4
n
+ 1−√ 5 4
n
+ 3√ 5 10
1 +√ 5 4
n
− 1−√ 5 4
n
N.B.La formule du binôme permet de se convaincre que ces valeurs sont bien des nombres rationnels. . .
