A324 - Deux entiers consécutifs Enoncé
Les sommes des chiffres de deux entiers consécutifs n et n+1 sont toutes deux divisibles par 2009. Quelle est la plus petite valeur possible de n ?
Solution proposée par Julien de Prabère
Observons que la condition de l’énoncé : « les sommes des chiffres de n et celle des chiffres de n+1 sont, toutes deux, divisibles par 2009 », est équivalente à : « la somme des chiffres de n et sa différence avec celle des chiffres de n+1 » sont toutes deux divisibles par 2009. Cherchons donc d’abord à quelles conditions cette différence peut être divisible par 2009.
L’ajout d’une unité à un nombre n, accroît la somme de ses chiffres de la même quantité, à une exception près : l’apparition, et l’éventuelle propagation, d’une retenue. Dans cette hypothèse, si l’écriture décimale de n se termine par p chiffres 9, précédés par un chiffre strictement inférieur à 9 arrêtant la propagation de la retenue, l’accroissement sera de 1 (la retenue) – 9 p (le remplacement des 9 par des zéros). Le nombre p devra donc être tel que 1 – 9 p soit un multiple de 9. Ce qui revient à rechercher un entier relatif q tel que 1 = 9 p + 2009 q.
Le théorème de Bézout nous enseigne que l’existence des nombres p et q, vérifiant cette égalité, traduit simplement le fait que 9 et 2009 sont premiers entre eux.
Appliquons donc l’algorithme d’Euclide Bézout en écrivant la suite des divisions de 2009 par 9, puis, des diviseurs par les restes.
2009 = 9 x 223 + 2 9 = 2 x 4 + 1.
Alors en repartant des restes 1 = 9 - (2009 – 9 x 223) x 4 et finalement 1 = 9 x 893 – 2009 x 4
Bézout nous enseigne encore que le couple ainsi trouvé n’est pas unique, mais que les autres valeurs de p différeraient d’un multiple de 2009. Recherchant le plus petit entier positif vérifiant cette égalité (pour que n soit à son tour le plus petit possible), c’est bien cette valeur de 893 qui doit être retenue pour p.
Restent alors à trouver les premiers chiffres de n pour que la somme de ses chiffres soit divisible par 2009, sachant maintenant que ses 893 derniers 9 vont nous amener une somme de chiffres de 9 x 893 donc un reste de 1 dans la division par 2009.
Bien que nous n’ayons, semble-t-il, que très peu progressé avec tous ces 9, puisque les premiers chiffres de n doivent nous apporter encore un reste de 2008, le problème est maintenant quasi résolu : il suffit de choisir, pour minimiser le nombre des premiers chiffres de n, les plus grands chiffres possibles, et donc de préférence encore des 9, à l’exception d’un 8 d’arrêt de la retenue et peut-être du premier chiffre d’ajustement du reste. Mais nous avons pratiquement déjà opérés tous les calculs…
Le nombre n comporte 1117 chiffres (dont 1115 chiffres 9), il commence par un 2, suivit de 222 chiffres 9, d’un 8 et, enfin, de 893 chiffres 9 !
