MPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 9 29 juin 2019
Problème I.
I. Outils.
1. Un coecient du binôme est un quotient de deux produits chacun étant constitué d'un même nombre de facteurs consécutifs :
k n
n k
= k n
n(n − 1)...
k(k − 1)... = (n − 1)(n − 2)...
(k − 1)(k − 2)... = n − 1
k − 1
2. Les propriétés P
2et P
3sont logiquement équivalentes car P
3formule la dénition de la convergence des suites (f
n(x))
n∈Npour chaque x .
La proposition P
1implique les deux autres car elle signie que pour chaque ε , il existe un α valable pour tous les x . Dans les autres propositions, cet α peut dépendre de x , les propositions ne sont pas équivalentes.
3. Remarquons que si x = y n'importe quel z dans [0, 1] convient. Supposons donc x 6= y et notons ϕ la fonction suggérée par l'énoncé.
ϕ(t) = f (t) + (y − t)f
0(t) + (y − t)
2M
Elle dépend de y , on aurait pu le marquer en la notant ϕ
y. Elle a les mêmes propriétés de régularité que f
0c'est à dire C
1[0, 1] . On peut donc lui appliquer le théorème de Rolle entre x et y si on choisit un M tel que ϕ(x) = ϕ(y) .
Cette contrainte se traduit par une équation très simple d'inconnue M : f (y) = f (x) + (y − x)f
0(x) + (y − x)
2M
qui admet une solution car y 6= x . Il n'est pas utile de l'exprimer.
Pour ce M là, il existe z strictement entre x et y (donc dans [0, 1] ) tel que ϕ
0(z) = 0 . Or
ϕ
0(t) = f
0(t) − f
0(t) + (y − t)f
00(t) − 2(y − t)M = (y − t)(f
00(t) − 2M ) De z 6= y , on tire f
00(z) = 2M . En réinjectant dans la relation ϕ(x) = ϕ(y) , on obtient
f (y) = f (x) + (y − x)f
0(x) + (y − x)
2f
00(z) 2
4. La fonction x 7→ x(1 − x) est croissante de 0 à
12, décroissante de
12à 1 . On en tire en particulier :
∀x ∈ [0, 1], 0 ≤ x(1 − x) ≤ 1 4
II. Propriétés.
1. On perçoit l'analogie avec la relation fondamentale entre les coecients du binôme : (1 − t)B
kn−1(t) + tB
k−1n−1=
n − 1 k
t
k(1 − t)
n−k+
n − 1 k − 1
t
k(1 − t)
n−1−(k−1)avec n − 1 − (k − 1) = n − k
=
n − 1 k
+
n − 1 k − 1
t
k(1 − t)
n−k= B
kn2. Dans les trois cas, le calcul repose sur la formule du binôme.
Cas f (x) = 1 . On applique directement la formule du binôme : f
n(x) =
n
X
k=0
n k
x
k(1 − x)
n−k= (1 − x + x)
n= 1
Cas f (x) = x . On remarque d'abord que le terme associé à k = 0 est nul. Puis on applique la relation obtenue en I1.
f
n(x) =
n
X
k=0
k n
n k
x
k(1 − x)
n−k=
n
X
k=1
n − 1 k − 1
x
k(1 − x)
n−k= x
n
X
k=1
n − 1 k − 1
x
k−1(1 − x)
n−1−(k−1)= x(1 − x + 1)
n−1= x
en tenant compte du décalage d'indice et de la formule du binôme.
Cas f (x) = e
x. f
n(x) =
n
X
k=0
e
knn
k
x
k(1 − x)
n−k=
n
X
k=0
n k
(e
1nx)
k(1 − x)
n−k=
e
n1x + 1 − x
n3. On veut montrer ici que x(1 − x)B
kn0(x) = (k − nx)B
nk(x) . Si k = 0 .
x(1 − x)B
0n0(x) = −nx(1 − x)(1 − x)
n+1= −nx(1 − x)
n= (k − nx)B
0n(x) Si k = n .
x(1 − x)B
nn0(x) = nx(1 − x)x
n−1= n(1 − x)x
n= (k − nx)B
nn(x)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1009CMPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 9 29 juin 2019
Si 1 ≤ k ≤ n − 1 .
x(1 − x)B
nk0(x) = x(1 − x) n
k
kx
k−1(1 − x)
n−k− (n − k)x
k(1 − x)
n−k−1= (k(1 − x) − (n − k)x) n
k
x
k(1 − x)
n−k= (k − nx)B
kn(x)
4. a. De la dénition de la fonction g , on déduit g(
nk) =
nkf (
kn) . On peut alors exprimer g
n(x) − xf
n(x) comme une somme, factoriser partiellement et utiliser le résultat de la question précédente
g
n(x) − xf
n(x) =
n
X
k=0
k n − x
f ( k
n )B
kn(x) = 1 n
n
X
k=0
f ( k
n ) (k − nx) B
kn(x)
= 1 n
n
X
k=0
f ( k
n )x(1 − x)B
nn0(x) = x(1 − x) n
n
X
k=0
f ( k n )B
nn(x)
!
0= x(1 − x) n f
n0(x) b. Si f (x) = x pour tous les x alors g(x) = x
2et f
n(x) = x . La formule précédente
donne donc
x(1 − x)
n = −x
2+ g
n(x) On en déduit que si f (x) = x
2pour tous les x alors
f
n(x) = x(1 − x) n + x
25. Examinons les trois sommes obtenues à partir du développement ( k
n − x)
2= ( k n )
2− 2 k
n x + x
2Elles correspondent à des calculs déjà eectués
n
X
k=0
( k n )
2n k
x
k(1 − x)
n−k= x(1 − x) n + x
2n
X
k=0
(−2x)( k n )
n k
x
k(1 − x)
n−k= −2x
2n
X
k=0
x
2n
k
x
k(1 − x)
n−k= x
2On en déduit
n
X
k=0
( k n − x)
2n k
x
k(1 − x)
n−k= x(1 − x) n
III. Monotonie.
1. Si k = 0 , B
0n(t) = (1 − t)
ndonc B
0n0= −nB
0n−1. Si k = n , B
nn(t) = t
ndonc B
n0n= nB
n−1n−1.
Si 1 ≤ k ≤ n − 1 , on utilise encore la relation obtenue en I1. en particulier associée à la symétrie des coecients
(n − k) n
k
= (n − k) n
n − k
= n
n − 1 n − k − 1
= n n − 1
k
Il vient : B
kn0(t) =
n k
kt
k−1(1 − t)
n−k− n
k
(n − k)t
k(1 − t)
n−k−1= n
n − 1 k − 1
t
k−1(1 − t)
n−k− n − 1
k
t
k(1 − t)
n−k−1Comme n − k = (n − 1) − (k − 1) et n − k − 1 = (n − 1) − k , on obtient B
kn0= n B
k−1n−1− B
n−1k2. En utilisant les relations trouvées à la question précédente, il vient
1
n f
n0(x) =
n
X
k=1
f ( k
n )B
n−1k−1−
n−1
X
k=0
f ( k
n )B
n−1k=
n−1
X
k=0
f ( k + 1
n )B
kn−1−
n−1
X
k=0
f ( k n )B
kn−1=
n−1
X
k=0
f ( k
n + 1
n ) − f ( k n )
B
kn−1=
n−1
X
k=0
(∆
nf )( k n )B
n−1k3. Si on suppose f croissante, alors ∆
nf est à valeurs positives d'après sa dénition même.
Comme les fonctions de Bernstein sont à valeurs positives, la formule de la question précédente montre que f
n0est à valeurs positives donc f
nest croissante.
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IV. Approximations.
1. a. Comme la fonction est de classe C
2, sa dérivée seconde est continue. Elle est donc bornée. Le fait que ses bornes sont atteintes n'est pas utile ici.
b. Considérons un x ∈ [0, 1] et utilisons la question I.3. avec y =
nkpour chaque k . Il existe donc des z
ktels que
f( k
n ) = f(x) + ( k
n − x)f
0(x) + ( k
n − x)
2f
00(z
k) 2
En multipliant par les fonctions de Bernstein et en sommant, on obtient f
n(x) = f (x)
n
X
k=0
B
kn(x)
| {z }
=1
+ f
0(x)
n
X
k=0
k n B
nk(x)
| {z }
=x
− xf
0(x)
n
X
k=0
B
kn(x)
| {z }
=1
+
n
X
k=0
( k
n − x)
2f
00(z
k)
2 B
kn(x) = f (x) + 1 2
n
X
k=0
( k
n − x)
2f
00(z
k)B
kn(x) d'après les questions précédentes. On peut aussi écrire f (x) comme une somme :
f (x) = f (x)
n
X
k=0
B
nk(x) =
n
X
k=0
f (x)B
kn(x)
Les fonctions de Bernstein étant à valeurs positives dans [0, 1] , on peut majorer la diérence :
|f (x) − f
n(x)| ≤
n
X
k=0
|f (x) − f
n(x)| B
nk(x) = 1 2
n
X
k=0
( k
n − x)
2|f
00(z
k)|B
kn(x)
≤ M
22
n
X
k=0
( k
n − x)
2B
kn(x) ≤ M
22
x(1 − x) n c. Une étude rapide de fonction (maximum en
12) montre que 0 ≤ x(1 −x) ≤
14pour
tous les x de [0, 1] . On en tire donc :
∀x ∈ [0, 1], |f (x) − f
n(x)| ≤ M
28n
La suite des
M8n2tend vers 0 et le N associé à un ε par la dénition de la convergence de la suite sera valable pour tous les x de la condition P
1.
2. a. Dans cette question, le point important est simplement que les valeurs de B
knsont toujours positives. Une somme qui porte sur les k de K
α(x) est plus petite qu'une somme obtenue en ajoutant des termes positifs pour les autres k .
On considère la somme de la question II5. Par dénition de K
α(x) et d'après la remarque précédente,
α
2X
k∈Kα(x)
B
nk(x) ≤ X
k∈Kα(x)
( k
n − x)
2B
kn(x) ≤
n
X
k=1
( k
n − x)
2B
kn(x) = x(1 − x) n
Comme x(1 − x) ≤
14, on en déduit l'inégalité demandée X
k∈Kα(x)
B
kn(x) ≤ 1 4nα
2b. On a déjà vu que l'on peut écrire f (x) comme une somme
f (x) =
n
X
k=0
f (x)B
kn(x)
On factorise partiellement la diérence et on sépare les k avant de majorer
|f (x) − f
n(x)| =
n
X
k=0
(f (x) − f
n(x)) B
kn(x)
≤
n
X
k=0
|f (x) − f
n(x)| B
kn(x)
≤ X
k∈Kα(x)
|f (x) − f
n(x)| B
nk(x) + X
k∈K0α(x)
|f (x) − f
n(x)| B
kn(x)
Pour les k ∈ K
α(x) , majorons par |f (x) − f
n(x)| ≤ 2M
0et ne faisons rien pour les autres. On en déduit :
|f (x) − f
n(x)| ≤ 2M
0X
k∈Kα(x)
B
nk(x) + X
k∈K0α(x)
|f (x) − f
n(x)| B
kn(x)
≤ M
02nα
2+ X
k∈K0α(x)
|f (x) − f
n(x)| B
kn(x)
en utilisant l'inégalité de la question précédente.
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Rémy Nicolai M1009CMPSI B 2009-2010 Corrigé du DM 9 29 juin 2019
Pour tout x ∈ [0, 1] et tout ε > 0 , comme f est continue en x , il existe un α > 0 (qui dépend de x à priori) tel que |f(y) − f (x)| ≤
2εpour y ∈ [0, 1] vériant |x − y| ≤ α . Ceci se produit pour les
knlorsque k ∈ K
α0(x) . On en tire
X
k∈K0α(x)
|f (x) − f
n(x)| B
kn(x) ≤ ε 2
X
k∈Kα0(x)
B
nk(x) ≤ ε 2
1
X
k=0
B
kn(x) = ε 2 Pour ce α là, on peut donc écrire que pour tout n ,
|f (x) − f
n(x)| ≤ M
02nα
2+ ε 2 Comme la suite
2nαM02n∈N∗
converge vers 0 , il existe un N à partir duquel M
02nα
2≤ ε 2 Ce qui montre la proposition P
3.
En fait on pourrait montrer aussi de cette manière la proposition P
1mais il faudrait utiliser le théorème de Heine sur la continuité uniforme sur un segment.
Problème II.
1. Vérions les propriétés requises pour que C(A) soit un sous groupe.
Non vide : Il contient le neutre qui commute avec tout le monde Stable pour l'opération : Soit x et y deux éléments de C(A) alors :
∀a ∈ A : (xy)a = x(ya) = x(ay) = (xa)y = a(xy) donc xy ∈ C(A) .
Stable pour l'inversion : Soit x ∈ C(A) alors :
∀a ∈ A : x
−1a = x
−1a(xx
−1) = (x
−1x)ax
−1= ax
−1donc x
−1∈ C(A) .
2. Montrons que X ⊂ Y entraîne C(Y ) ⊂ C(X) . En eet tout élément u de C(Y ) commute avec tout élément de Y . Il commute donc avec tous les éléments de X (qui sont des éléments particuliers de Y ). Un tel u est donc dans C(X ) .
3. Montrons que X ⊂ C(C(X)) . En eet tout x de X commute par dénition de C(X ) avec un élément quelconque de C(X ) .
4. Utilisons d'abord les questions 3. appliquée à A puis la question 2.
A ⊂ C(C(A)) ⇒ C(C(C(A))) ⊂ C(A)
Utilisons ensuite à nouveau la question 3. mais appliquée à C(A) au lieu de X . On obtient l'autre inclusion :
C(A) ⊂ C(C(C(A)))
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