A503 - Somme de carrés consécutifs

A503 - Somme de carrés consécutifs

Solution

Si on trouve assez aisément l’entier 365 qui est égal à la somme d’au moins deux carrés consécutifs de deux manières différentes, 36513²14²10²11²12², la recherche pour des entiers s’écrivant de trois manières différentes et a fortiori de quatre manières différentes sous la forme de sommes d’au moins deux carrés consécutifs nécessite un ordinateur.

Pour simplifier cette recherche, on peut noter que la somme d’un nombre pair p de termes consécutifs est égale à :

et que la somme d’un nombre impair q de termes consécutifs est égale à :

On obtient les résultats ci-après avec une seule solution pour quatre séquences distinctes de carrés consécutifs pour N = 554 503 705

Sans que l’on puisse en tirer une loi quelconque, on notera que de nombreux entiers N figurant dans le tableau ci-dessus sont des multiples de 17 (147 441, 2 403 800,

3 198 550, 15 053 585, 554 503 705) ou de 19 (2 513 434, 151 443 110, 962 822 910) ou de 53 (910 805, 3 198 550,18 646 301 136 448 235). Aucun d’eux n’est premier.

N

1er terme dernier terme 1er terme dernier terme 1er terme dernier terme 1er terme dernier terme

147 441 85 101 29 77 18 76

910 805 550 552 144 178 35 140

1 026 745 716 717 51 147 1 145

2 403 800 583 589 368 384 298 322

2 513 434 473 483 286 313 66 198

3 198 550 225 275 127 226 1 212

11 739 805 1 079 1 088 281 385 196 349

15 053 585 2 743 2 744 933 949 209 378

18 646 301 413 501 199 399 29 382

33 313 175 433 565 117 466 66 464

136 448 235 1 548 1 602 1 293 1 369 1 742

151 443 110 630 889 1 301 1 384 1 681 1 732

554 503 705 7 442 7 451 3 613 3 654 3 570 3 612 480 1 210

962 822 910 988 1 567 1 071 1 602 2 398 2 554

1 031 517 930 118 1 457 1 977 2 211 2 311 2 489

1ère séquence 2ème séquence 3ème séquence 4ème séquence