A551 – Deux vérifications, deux démonstrations [* à **** à la main]
Si besoin avec l’aide d’un automate, Vérifier qu’on sait trouver :
1) au moins un entier n tel que 2 + n est un multiple de 2013. [*] n
2) au moins un entier n tel que la somme des chiffres de 2 est supérieure ou égale à n 2013. Trouver le plus petit n possible.[*]
Démontrer que :
1- pour tout entier naturel m, on sait trouver au moins un entier n tel que 2 + n est un n multiple de m.[***]
2- par un choix convenable de l’entier n, la somme des chiffres de 2 écrit dans le n système décimal peut être rendue supérieure à n’importe quel entier k fixé à l’avance.[****]
Nota : bien entendu, le lecteur est libre de faire les démonstrations avant les vérifications...
Solution proposée par Paul Voyer
Vérifier Q1
n=230 2230+230 = 0 modulo 2013 ou n=265, 1543, 1712, 1873 Table EXCEL des mod(2n+n;2013)
Q2
n=1438 Les 433 chiffres de 21438 ont pour somme = 2014 (Wolfram Alpha).
Leur moyenne est 4.65. (la moyenne de chiffres aléatoires serait 4.5) C'est le plus petit n.
Démontrer Q1
2n modulo m est périodique et peut prendre au plus m valeurs entre 0 et m-1.
n modulo m est périodique de période m et prend toutes les valeurs de 0 à m-1.
A m donné, il existe donc au moins une valeur de n≤m pour laquelle 2n+n = 0 modulo m.
Q2
La somme des chiffres de 2n décrite dans OEIS A001370 est équivalente à ne/2 quand n->∞.
(e=2.718…)
Il existe donc des valeurs de n pour lesquelles la somme est au moins égale à ne/2.
Cette somme peut donc être rendue supérieure à toute valeur k fixée à l'avance.
