Problème : Entier somme de deux carrés
Dans ce problème, on cherche à caractériser les entiers naturels qui sont somme de deux carrés.
Autrement dit, on cherche tous les entiers n ∈N pour lesquels il existe deux entiers u et v tels que n=u2+v2.
Partie I : Anneau des entiers de Gauss On pose
Z[i] ={a+ib / a, b∈Z} l’anneau des entiers de Gauss.
Dans cette partie, on propose d’étudier les propriétés algébriques de cet ensemble. Pour cela, on pose
∀z∈C, N(z) =z·z.
1. Montrer queZ[i]est un sous-anneau de(C,+,×).
2. (a) Établir que pour toutu, v∈C,N(uv) =N(u)N(v), et que, pour toutu∈Z[i],N(u)∈N. (b) Montrer Z[i]?={u∈Z[i]/ N(u) = 1} et écrireZ[i]? en extension.
3. Soitn un entier naturel.
Montrer quenest somme de deux carrées si, et seulement si, il existez∈Z[i]tel quen=N(z).
4. Division euclidienne dans Z[i].
(a) Montrer que, pour tout z∈C, il existeu∈Z[i]tel que N(u−z)<1.
(b) Montrer que, pour tout a∈Z[i], pour toutb∈Z[i]\ {0}, il existe (q, r)∈Z[i]2 tel que a=bq+r etN(r)< N(b).
Partie II : Arithmétique dans Z[i]
Pour u, v∈Z[i], on dit queu divisev dansZ[i]s’il existed∈Z[i]tel que v=ud.
On dit que p∈Z[i]est irréductible si p=uv ⇒
u∈Z[i]? ou v∈Z[i]?
.
1. Soientu, v∈Z[i]. Montrer que si u divise v dansZ[i]alorsu divise v dansZ[i].
2. Soientu, v∈Z[i]. Montrer que si u divise v dansZ[i]alorsN(u) diviseN(v) dansZ.
3. Soient u, v ∈Z[i]. Montrer que u divise v et v divise u dansZ[i]si, et seulement si, il existe d∈Z[i]? tel que v=ud.
On dit alors que uetv sont associés.
4. Existence du pgcd dansZ[i].
Soientu etv deux éléments deZ[i]dont l’un, au moins, est non nul.
On appelle pgcd deu etv tout élémentδ ∈Z[i]vérifiant
— δ diviseu etv dansZ[i],
— si δ0 est un élément de Z[i]divisant u etv dansZ[i]alorsδ0 diviseδ dansZ[i].
(a) Montrer que tous les pgcd deu etv sont associés.
(b) Soit δ∈Z[i]. On pose
δZ[i] ={δu / u∈Z[i]}. i. Montrer queδZ[i]est un sous-groupe de(Z[i],+).
ii. On pose
I(u, v) =
uz+vz0 / z, z0 ∈Z[i] . Observer queu etv sont des éléments deI(u, v).
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iii. Montrer que l’ensemble
A={N(w)/ w ∈I(u, v)\ {0}}
possède un minimum d >0.
(c) Soit δ∈I(u, v)\ {0}tel que N(δ) =d. Montrer que I(u, v) =δZ[i].
(d) En déduire que δ est un pgcd de u etvdans Z[i].
5. Théorème de Bézout dansZ[i]: Soientu, v∈Z[i]\ {0}.
Montrer que1est un pgcd uetv si, et seulement si, il existez, z0 ∈Z[i]tels queuz+vz0 = 1.
6. Théorème de Gauss dans Z[i]: Soientu, v, w ∈Z[i]\ {0}.
Montrer que si u divisevw et si 1est pgcd deu etv alorsu divise w.
7. Lemme d’Euclide dans Z[i]: Soientp, u, v ∈Z[i]\ {0}.
Montrer que si pdivise vw et si pest irréductible alorsp divise v oup divise w.
Partie III : Nombres premiers sommes de deux carrés
Dans cette partie, on cherche à caractériser les nombres premiers qui sont somme de deux carrés.
1. Soientp>3 un nombre premier etaun entier non congru à 0 modulop.
(a) Montrer que p≡1 [4]ou que p≡3 [4].
(b) Montrer que
∀x∈[[1, p−1]], ∃!y∈[[1, p−1]]/ xy≡a[p]. (?) Indication : On pourra appliquer le théorème de Bézout à x et p.
(c) En appliquant(?) àa= 1, montrer le théorème de Wilson (p−1)!≡ −1 [p].
(d) On dit queaest un carré modulops’il existe 16x6p−1tel que a≡x2 [p]. Un telx est appelé une racine carrée de amodulop.
Siaest un carré modulopet six désigne l’une de ses racines carrées modulop, déterminer toutes les racines carrées de amodulo pen fonction dex.
(e) En déduire que
ap−12 ≡
1 [p] si aest un carré modulo p,
−1 [p] si an’est pas un carré modulop.
2. Dans la suite de cette partie,p désigne un nombre premier quelconque.
Montrer que−1 est un carré modulo psi, et seulement si, p≡1 [4]ou p= 2.
3. (a) Montrer que sip est somme de deux carrés alors p= 2 ou p≡1 [4].
(b) Montrer que 2est somme de deux carrés.
(c) Montrer que sip≡1 [4] alorspest somme de deux carrés.
Indication : On pourra montrer que p = u2 +v2 avec u+iv un pgcd de p et a+i où a2 ≡ −1 [p].
4. Conclure.
Partie IV : Entier somme de deux carrés
Dans cette dernière partie, on cherche enfin à caractériser les entiers naturels qui sont sommes de deux carrés.
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1. Montrer que sinetmsont deux entiers naturels sommes de deux carrées alorsnmest également somme de deux carrés.
2. Soit p un nombre premier différent de 2. Montrer que si p n’est pas irréductible alors p est somme de deux carrés.
3. Soientu, v∈N,n=u2+v2 un entier somme de deux carrés et p≡3 [4], un nombre premier diviseur de n.
(a) Montrer que p diviseu+ivdansZ[i].
(b) En déduire que p2 divisen dansZ.
4. Établir que les entiers naturels non nuls qui sont somme de deux carrés sont les nombres n vérifiant
∀p∈P,
p≡3 [4] ⇒ vp(n) est pair
.
* * * FIN DU SUJET * * *
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