Deux carrés dans un triangle
Problème A420 de Diophante
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
Solution
Pour un triangle OAB rectangle en O, il n’y a que deux carrés dont les quatre sommets reposent sur son périmètre : le carré OPRQ (un seul sommet sur AB) et le carré TUVW (deux sommets sur AB).
H
I
Notons : a l’abscisse de A ; b l’ordonnée de B ; c la distance AB ( c2 = a2 + b2) et k le rapport d’homothétie entre les triangles OAB et OUV (k = OU/OA = OV/OB).
Ainsi : OH = ab / c ; IH = (1-k)ab / c et UV = kc. D’où, pour que IH = UV, la valeur k = ab / (a2 + ab + b2). Par ailleurs, OP = OQ = ab / (a + b).
Il s’agit d’abord de déterminer a et b pour que ab(a2 + b2) / (a2 + ab + b2) et ab / (a + b) soient entiers et ensuite de minimiser ab, sachant que a = du et b = dv pour u et v premiers entre eux..
Nécessairement d est multiple de u2 + uv + v2 et de u + v (premiers entre eux).
Le plus petit triangle pythagoricien (3,4,5) donne u2 + uv + v2 = 37 et u + v = 7.
Avec d = 7*37. On obtient a = 1 036 ; b = 777 ; UV = 420 et OP = 444. Tout autre choix donnera des valeurs bien supérieures.
Nota : On peut remarquer que OP est toujours plus grand que UV.
