A417 – Le pigeonnier et la tortue Solution
Si T est le point où se trouve la tortue Carapace, tous les triangles HTA, HTB, HTC, HTD,…sont pythagoriciens. Il s’agit d’identifier ceux dont les angles HTA, HTB, HTC, HTD,…sont les multiples d’un même angle.
Il est naturel de considérer tous les triangles pythagoriciens dits « primaires » (3,4,5),
(5,12,13), (7,24,25), … Pour chacun d’eux, on calcule l’angle a que fait l’hypoténuse avec le côté horizontal de l’angle droit qui est le plus grand des deux côtés de l’angle droit. Puis on détermine les dimensions des triangles pythagoriciens dont l’angle de l’hypoténuse et du côté horizontal de l’angle droit est successivement égal à 2a,3a,4a,…
Prenons l’exemple du triangle (5,12,13). On a cos(a)=12/13 et sin(a)=5/13. Il en résulte : cos(2a)=cos(a)*cos(a) – sin(a)*sin(a)=(144-25)/169=119/169 et
sin(2a)=2*sin(a)*cos(a)=120/169. D’où les dimensions du triangle pythagoricien dont l’angle de l’hypoténuse avec le côté horizontal de l’angle droit est de 2a: (119,120,169).
On poursuit avec cos(3a)=cos(2a)*cos(a) – sin(2a)*sin(a) = (119*12-120*5)/2197 = 828/2197 et sin(3a)=sin(2a)*cos(a)+cos(2a)*sin(a)= 2035/2197. Il en découle le triangle pythagoricien (828, 2035, 2197).
A chaque étape, l’hypoténuse du nouveau triangle pythagoricien est multipliée par un coefficient égal à la longueur de l’hypoténuse d’origine. Ceci explique la croissance très rapide des dimensions des triangles pythagoriciens successifs et le phénomène est d’autant plus marqué que l’angle initial a est petit et que les dimensions de l’hypoténuse et du plus grand côté de l’angle droit du triangle pythagoricien primaire sont élevées. On s’arrête de déterminer les dimensions d’un nouveau triangle pythagoricien quand na>90° ou quand les dimensions du triangle deviennent excessives.
D’où le tableau ci-après :
Les triangles HTA, HTB, HTC,..que l’on cherche ont une base commune HT. Il faut donc déterminer une longueur HT qui est le PPCM de tous les côtés horizontaux de l’angle droit des triangles pythagoriciens successifs. On s’aperçoit très vite que la seule solution
raisonnable consiste à retenir deux niveaux seulement à partir du triangle pythagoricien primaire (3,4,5).Le triangle secondaire a les dimensions (24,7,25) . Il en résulte HT=28, HA=21, TA=35, HB=96, TB=100 et les angles sont a=36,87° et 2a=73,74°. L’unité de
3 4 5 a 36,870 5 4 3
2a 73,740 25 7 24
5 12 13 a 22,620 13 12 5
2a 45,240 169 119 120
3a 67,860 2 197 828 2 035
7 24 25 a 16,260 25 24 7
2a 32,520 625 527 336
3a 48,781 15 625 10 296 11 753
8 15 17 a 28,072 17 15 8
2a 56,145 289 161 240
3a 84,217 4 913 495 4 888
9 40 41 a 12,680 41 40 9
2a 25,361 1 681 1 519 720
3a 38,041 68 921 54 280 42 471
11 60 61 a 10,389 61 60 11
2a 20,778 3 721 3 479 1 320
12 35 37 a 18,925 37 35 12
2a 37,849 1 369 1 081 840
3a 56,774 50 653 27 755 42 372
13 84 85 a 8,797 85 84 13
2a 17,595 7 225 6 887 2 184
20 21 29 a 43,603 29 21 20
2a 87,206 841 41 840
triangle pythagoricien primaire séquence de triangles pythagoriciens d'angle a,2a,3a, etc
+ grand côté angle droit + petit côté
angle droit
côté horizontal angle droit
côté vertical angle droit hypoténuse
H
angle en ° (H,côté horizontal
angle droit) hypoténuse
mesure des distances est le décimètre et le pigeonnier a une hauteur déjà appréciable d’au moins 9,6 mètres…
Hippolyte peut certes proposer d’autres schémas avec 3 niveaux et d’autres triangles pythagoriciens mais le micron ne suffirait pas comme unité de mesure pour donner des valeurs entières…
