D10352. Plus petit angle
Dans ce triangle pythagoricien (triangle rectangle à côtés entiers), le carré du périmètre est un multiple exact de l’aire. Quel est son plus petit angle ? Solution
Sia2 =b2+c2, le rapport du carré du périmètre à l’aire est (a+b+c)2/(bc/2) = 4(a+b+c)2/((b+c)2−a2)
= 4(a+b+c)/(b+c−a) = 4 cot(B/2) cot(C/2).
Ces cotangentes sont des fractions irréductiblesp/q et (p+q)/(p−q), avec pet q de parité contraire ; d’où le rapport
4(p2+pq)/(pq−q2) = 12 + 4(p−q)/q+ 8q/(p−q).
Comme p−q est premier avec q, il doit diviser 8 et comme il est impair, p=q+ 1 ; q est un diviseur de 4, soit 1, 2 ou 4.
Le triangle rectangle de l’énoncé est semblable à l’un des suivants, avec 3 valeurs possibles pour le plus petit angle, qui est arctan(b/c).
q p a b c arctan(b/c) P2/S 1 2 5 3 4 2 arctan(1/3) 24 2 3 13 5 12 2 arctan(1/5) 30 4 5 41 9 40 2 arctan(1/9) 45
