D110-Des visions à angle variable Solution
Le premier triangle auquel on songe est le triangle rectangle obtenu en partageant un triangle équilatéral en deux. Les angles valent respectivement 90°, 60° et 30°. L’angle de 60° vaut le double de l’angle de 30° et l’angle droit vaut le triple de ce même angle. Mais ce triangle est à exclure car ses côtés ne peuvent pas être tous entiers, l’un des côtés de l’angle droit étant dans le rapport 3/2 avec l’hypoténuse.
La relation des sinus dans un triangle permet d’obtenir rapidement la réponse.
Soit A = BAC = k* ABC = k*B avec k=2,3,4 et soient a, b, c les côtés du triangle ABC.
On a : a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C).
Comme C = - A – B = - (k+1)*B, les relations s’écrivent a / sin(k*B) = b / sin(B) = c / sin[(k+1)*B]
1er cas : k=2
a / sin(2*B) = a / [2*sin(B)*cos(B)] = b / sin(B) = c / sin(3*B) = c / [sin(B)*cos(2*B) + sin(2*B)*cos(B)]
Comme B est > 0, on peut simplifier les trois membres par sin(B) et en posant X=cos(B), on obtient les identités :
a / (2*X) = b = c / (4*X2-1) d’où l’équation du second degré en X qui permet d’exprimer X en fonction de a et de c : 4*a*X2 – 2*c*X – a = 0
a, b, et c ne peuvent prendre de valeurs entières que si X est un nombre rationnel. Il en résulte que le discriminant de l’équation, c2 +4*a2, doit être le carré d’un entier ou d’un nombre rationnel.
Cette condition est satisfaite si l’on retient c et 2*a comme étant les deux côtés de l’angle droit de triangles pythagoriciens de la forme [2*p+1, 2*p*(p+1), 2*p*(p+1) + 1]. Dès lors les côtés a, b et c du triangle ABC dont l’angle A est le double de l’angle B sont respectivement égaux à p*(p+1), p2 et 2*p+1 tandis que X =cos(B)= (p+1) /(2*p).
Pour p=1, les trois sommets du triangle ABC sont alignés. Les valeurs entières des côtés sont donc obtenues pour p>1
On observe que les longueurs du côté b opposé à l’angle B sont les carrés des entiers consécutifs 2,3,4,…,p. Le plus petit triangle a pour dimensions 6,4 et 5.
p a b c cos(B) angle A en ° angle B en ° angle C en °
2 6 4 5 3/4 82,8192 41,4096 55,7711
3 12 9 7 2/3 96,3794 48,1897 35,4309
4 20 16 9 5/8 102,6356 51,3178 26,0466
5 30 25 11 3/5 106,2602 53,1301 20,6097
6 42 36 13 7/12 108,6293 54,3147 17,0560
7 56 49 15 4/7 110,3002 55,1501 14,5497
8 72 64 17 9/16 111,5423 55,7711 12,6866
9 90 81 19 5/9 112,5020 56,2510 11,2470
10 110 100 21 11/20 113,2660 56,6330 10,1010
11 132 121 23 6/11 113,8885 56,9443 9,1672
12 156 144 25 13/24 114,4057 57,2028 8,3915
On peut obtenir une formule plus générale en posant X = p / q avec p et q entiers p<=q. Il en résulte a / c = (4*p2 – q2) / (2*p*q) et b = a / 2*X = q2. En prenant a = 4*p2 – q2, b = q2 et c = 2*p*q avec q/2<p<q, on obtient le tableau ci-après dans lequel les valeurs de a, b, c ont été divisées par leurs facteurs communs afin de faire apparaître les dimensions les plus réduites possibles des triangles.
2er cas : k=3
Dans ce cas la relation des sinus s’écrit a / sin(3*B) = b / sin(B) = c / sin(4*B) . En posant une nouvelle fois X=cos(B), on obtient la relation a / (4*X2 – 1) = b = c / [4*X*(2*X2 – 1)]
Avec X = p/q nombre rationnel, on obtient les valeurs entières de a, b, c suivantes : a = q*(4*p2 – q2), b = q^3 et c = 4*p*(2*p2 – q2) avec les inégalités q2 /2 < p2 < q2. D’où le tableau donnant les premières valeurs de a,b,c :
Le plus petit triangle a pour dimensions 10,8 et 3.
3er cas : k quelconque
De manière générale, la relation des sinus donne les relations a / sin(k*B) = b / sin(B) = c / sin[(k+1)*B].
En développant sin(k*B) et sin[(k+1)*B] et en mettant sin(B) en facteur commun des deux expressions, on obtient deux polynômes de degrés respectifs k et k+1 en X = cos(B). Soient Pk(X) et Pk+1(X) les deux polynômes ainsi obtenus. Les relations ci-dessus deviennent a / Pk(X) = b = c / Pk+1(X). En posant X = p/q p et q entiers tels que p<q, on obtient les valeurs entières de a et c à partir de Pk(p/q) et Pk+1(p/q) tandis que b prendra la forme qk.
p q X=cos(B) a b c angle A en ° angle B en °
3 4 3/4 6 4 5 82,8192 41,4096
2 3 2/3 12 9 7 96,3794 48,1897
5 6 5/6 15 9 16 67,1146 33,5573
5 8 5/8 20 16 9 102,6356 51,3178
7 8 7/8 28 16 33 57,9100 28,9550
3 5 3/5 30 25 11 106,2602 53,1301
7 10 7/10 35 25 24 91,1460 45,5730
4 5 4/5 40 25 39 73,7398 36,8699
9 10 9/10 45 25 56 51,6839 25,8419
4 7 4/7 56 49 15 110,3002 55,1501
5 7 5/7 70 49 51 88,8306 44,4153
6 7 6/7 84 49 95 62,0054 31,0027
5 9 5/9 90 81 19 112,5020 56,2510
7 9 7/9 126 81 115 77,8849 38,9424
8 9 8/9 144 81 175 54,5321 27,2660
p q X=cos(B) a b c angle A en ° angle B en °
3 4 3/4 10 8 3 124,2289 41,4096
5 6 5/6 48 27 35 100,6719 33,5573
7 8 7/8 132 64 119 86,8651 28,9550
4 5 4/5 195 125 112 110,6097 36,8699
5 7 5/7 357 343 20 133,2459 44,4153
6 7 6/7 665 343 552 93,0082 31,0027
7 9 79 1035 729 476 116,8273 38,9424
8 9 8/9 1575 729 1504 81,7981 27,2660
