A420 – Deux carrés dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
Solution Patrick Gordon
Un carré dont les quatre sommets reposent sur le périmètre d'un triangle rectangle a obligatoirement deux sommets sur un côté du triangle ou un sommet en un sommet du triangle (ce qui n'est possible que pour le sommet de l'angle droit).
En définitive, il n'y a que deux configurations possibles.
Quelques calculs simples d'aires ou de trigonométrie montrent que le côté du carré est respectivement :
x = ab / (a + b) y = abc / (ab + c²).
On veut que x et y soient entiers, le triangle a b c étant pythagoricien.
Il suffit de prendre une table des premiers triangles pythagoriciens primitifs (c’est-à-dire tels que a b c soient premiers entre eux dans leur ensemble) et de rechercher s'il est possible d'avoir x et y entiers – ou, à défaut d'avoir x et y entiers après multiplication de a b c par un même entier k.
Naturellement, k doit être un multiple du PPCM des dénominateurs (a + b) et (ab + c²).
Pour le triangle 3 4 5, on trouve un PPCM de 7 37 = 259, ce qui conduit à : a = 3 259 = 777
b = 4 259 = 1.036 c = 5 259 = 1.295
et donc une aire de 777 1.036 / 2 = 402.486
En examinant les 17 premiers triplets pythagoriciens (jusqu'à 65 72 97), on trouve des PPCM bien plus élevés et nous pensons donc que la solution d'aire minimale est celle indiquée ci- dessus.
