DCAB '' ICBO

A420. Deux carrés dans un triangle.

Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.

Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.

Solution proposée par Bernard Grosjean

Le triangle pythagoricien recherché a pour côtés, en unité de longueur (voir la figure) : OA : Ka avec a = (p² – q²)

OB : Kb avec b = 2pq AB : Kc avec c = (p² + q²)

K, p, q entiers, p > q et (p,q) = 1 et a, b et c premiers entre eux.

Premier carré (OCID) (voir la figure)

Les triangles OAB et CAI sont semblables : donc IC

BO = CA OA

Dans le repère OBy-OAx, on a les coordonnées : I (xi, yi), C (xi, 0), A (k1a, 0), B (0, k1b).

On a :

y_i/k₁b = (k₁a – x_i)/k₁a avec xi = yi (côté du carré) D’où : xi = k₁ab/(a+b).

Puisque (a,b) = 1, xi entier entraîne : k1 = m(a+b).

OA = ma(a+b) OB = mb(a+b)

OC = OD = DI = IC = mab Le plus petit k1 est égal à (a+b)

Le plus petit (a+b) est obtenu pour p = 2 et q = 1, soit a = 3 et b = 4 et k1 = 7 Deuxième carré (C’EFD’) (voir la figure)

Les triangles EC’A et OAB sont semblables (rectangles et angle commun) On a EA

OA = C A'

AB = EC' OB (1)

Les triangles OC’D’ et OAB sont semblables (rectangles et D’C’  AB) On a OC'

OA = OD'

OB = D C' ' AB (2)

Dans le repère OBy-OAx, on a les coordonnées : E (xe, ye), C’ (xc’, 0), D’ (0,yd’), A (k2a, 0), B (0, k2b) Et CE = D’C’= EC’ = λ (côté du carré)

De (1), on tire : λ/ k2b = (k2a - xc’)/ k2c soit λ = b(k2a - xc’)/ c De (2), on tire : x_c’/ k₂a = λ/ k₂c soit λ = cxc’/a

On en déduit : xc’ = k2a²b/(c²+ ab) et λ = c k2ab/(c² + ab)

a, b et c étant premiers entre eux, λ (et xc’) entier entraîne k2 = t(c² + ab) Soit en définitive pour le carré D’C’FE :

k₂ = t(c² + ab) OA = ta(c² + ab) OB = tb(c² + ab)

D’C’ = D’F = FE = EC’ = tabc

Le plus petit k₂ est égal à c² + ab, obtenu pour p = 2, q = 1, soit k₂ = 25 + 12 = 37

Conclusion : pour permettre d’inscrire les 2 carrés, de côté un nombre entier, dans le rectangle pythagoricien, celui-ci doit avoir pour dimensions, puisque (k1, k2) = 1 : OA = k₁k₂a = (a+b)(c² + ab)a

OB = k1k2b = (a+b)(c² + ab)b AB = k1k2c = (a+b)(c² + ab)c

Le triangle de plus petite surface, pour p = 2 et q = 1 entraîne a = 3, b = 4, c = 5 (en unités de mesure)

Soit OA = 7x37x3 = 777 OB = 7x37x4 = 1036 AB = 7x37x5 = 1295

Aire S = 777x1036/2 = 402 486 (u²)

Le carré OCID a pour côté OC = 37x3x4 = 444 Le carré C’EFD’ a pour côté C’E = 7x3x4x5 = 420

Dans le système d’axes xOy de la figure, les coordonnées des points s’expriment en nombres entiers.

A (777,0) ; B (0,1036) ; C (444,0) ; D (0,444) ; I (444,444) C’ (252,0) ; E (588,252) ; F (336,588) ; D’ (0,336)