A413 – Côtés entiers et coordonnées entières
Solution
Soit le triangle OPQ dont les côtés OP, PQ et OQ sont respectivement égaux à n, n-1 et n+1
Soit OA = x 0 et AP = y 0 avec x et y entiers.
Soit CQ = u et OC = v avec u et v entiers tels que 0 u x et yv Alors BP = v – y et BQ = x – u
Nous avons les identités suivantes :
2 2
2
2 2
2
2 2 2
1) - n ( y) ( u) - (x
1) n ( v u
n y x
v
De ces trois équations, on déduit une équation du second degré dont la variable u est fonction de x et de n :
0 1) (n
* ) x (n
* 4 4) (n
* n u
* x
* 4) (n
* n
* 4 u
* n
*
4 2 2 2 2 2 2 2
On en déduit : u = [(n4)*x n2x2* 3*n212]/2*n et v = n
* ]/2 12 n
* 3
* x x n
* 4)
[(n 2 2 2
Il apparaît que u = x/2 +2*x/n + 3*n23*(x24)12*(x/n)2/2 peut être un nombre entier si et seulement si x=n y=0
Dès lors u = x/2 + 2 et v = x* 3*n212/2*n
v est un entier si et seulement si 3*n2 12 est un entier.
On a donc à résoudre l’équation de Pell de la forme 3*X212Y2 dont les solutions sont données par :
0 et Y 2
X0 0
n n
1
n a*X b*Y
X
n n
1
n c*X d*Y
Y
avec a=2, b=1, c=3 et d=2
C Q B
P
A O
On est donc en mesure de calculer les côtés des premiers triangles répondant aux critères demandés. La liste peut évidemment s’étendre à l’infini.
Tous les triangles ont non seulement coordonnées de sommets et longueurs des côtés qui sont des nombres entiers mais également leur aire.
n = x u v périmètre aire
a b c
4 4 3 3 4 5 12 6
14 9 12 13 14 15 42 84
52 28 45 51 52 53 156 1 170
194 99 168 193 194 195 582 16 296
724 364 627 723 724 725 2 172 226 974
2 702 1 353 2 340 2 701 2 702 2 703 8 106 3 161 340
10 084 5 044 8 733 10 083 10 084 10 085 30 252 44 031 786
37 634 18 819 32 592 37 633 37 634 37 635 112 902 613 283 664
140 452 70 228 121 635 140 451 140 452 140 453 421 356 8 541 939 510 etc..
côtés des triangles OPQ
