A420 : Deux carrés dans un rectangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
On peut construire deux carrés distincts dans un triangle rectangle de cotés a et b et d’hypoténuse c : le premier, qui prend l’angle droit, a pour coté d=ab/(a+b), le
second, qui repose sur l’hypoténuse a pour coté e=ch/(c+h) où h=ab/c est la hauteur;
donc e=abc/(ab+c2).
Si le triangle est pythagoricien, il existe des entiers p, q, (p>q, premiers entre eux) et m tels que a=m(p2-q2) b=2mpq, c=m(p2 +q2 ), soit d=2mpq(p2-q2)/(p2-q2+2pq),
e=2mpq(p4-q4)/(p4+q4+2p2q2 +2pq(p2 -q2)); hormis le facteur m, ces fractions sont irréductibles. Les dénominateurs de d et e sont des fonctions croissantes de q et p-q.
Le triangle d’aire minimale sera donc obtenu à partir des valeurs minimales de p et q.
Pour p=2, q=1, a=3, b=4, c=5, d=12/7, h=12/5, e=60/37, donc en prenant m=7*37=259, on obtiendra des valeurs entières :
Pour a=777, b=1036, c=1295, d=444, e=420.
