A420. Deux carrés dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
Solution proposée par Antoine Vanney
c/(b-c)=a/b
c(1+a/b)=a d’où c = ab/(a+b) FG/BF=CE/DE=AD/AG=AC/AB
d/BF=CE/d=AD/AG=a/b ; BF+CE = BC-d BF=bd/a => CE=BC-d(1+b/a) = ad/b D’où d(1+a/b+b/a)=BC
d= ab.√(a2+b2)/(a2+b2+ab)
(3,4,5) (5,12,13) (8,15,17) (7,24,25) (9,40,41) (12,35,37) (11,60,61) (16,63,65) (28,45,53) Si ABC est proportionnel à (3,4,5) :
c=12n/7, d’où n=7p
d=60n/37, d’où p=37 (plus petite valeur) et n=259 a= 777, b=1036
Ce qui donne, pour les autres dimensions :
d= 420 ; BF= 560 ; BG= 700 ; AG= 336 ; AD= 252 ; CD= 525 ; CE = 315 Donc les triangles ADG, CDE et BFG sont aussi pythagoriciens.
Pour les triangles proportionnels aux autres cités, on ne trouve pas de meilleure solution.
a
b c
d
A D
C E
F
B G
