A 420. Deux carrés dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son
périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
Solution proposée par Michel Lafond:
Les côtés de l’angle droit valent 777 ; 1036.
Soit (a, b, c) un triangle pythagoricien. On suppose a, b, c premiers entre eux deux à deux.
Si le carré est disposé selon la figure ci-dessus, la proportion (a – x) / x = x / (b – x) permet de tirer x = ab / (a + b).
(a + b) et ab sont premiers entre eux, sinon a et b ne le seraient pas non plus.
Donc pour avoir un carré de côté entier, il faut tout multiplier par a + b et cela donne la figure 2.
Si, maintenant, le carré est disposé selon la figure 3 ci-dessus, où les côtés de l’angle droit du triangle rectangle sont encore égaux à a et b, la proportion (1 – k) a / (k c) = (k c) / (k b) permet de tirer k c = 2
c b a
c b a
.
abc et (ab + c2) sont premiers entre eux, sinon a, b, c ne le seraient pas non plus.
Donc pour avoir un carré de côté entier, il faut tout multiplier par (ab + c2) et cela donne la figure 4.
(a + b) a
(a + b) b ab
ab Figure 2
Figure 3
k a
k b k c (1 – k) a
(1 – k) b k c
a
b x
x Figure 1
x x
On veut le même triangle rectangle dans les figures 2 et 4. Puisque a + b et (ab + c2) sont premiers entre eux, on doit prendre pour côtés de l’angle droit (ab+ c2) (a + b) a et (ab+ c2) (a + b) b.
L’aire sera minimale pour a = 3 et b = 4. Alors, c = 5 et ab+ c2 = 37.
Les côtés de l’angle droit valent 777 ; 1036.
Les deux carrés inscrits ont pour côtés ab (ab+ c2) = 420 et abc (a + b) = 444.
L’aire du triangle est 402486.
Figure 4
abc (ab+ c2) a abc
(ab+ c2) b
777
1036
444 420
