Si AB C est un triangle rectangle en A, alors B C

(1)

Outils pour le triangle rectangle

Chapitre

2

I − Théorème de Pythagore 1. Calculer une longueur

Si AB C est un triangle rectangle en A, alors B C

²

= B A

²

+ AC

²

. Théorème de Pythagore

Exemple(Calcul de l’hypoténuse):

A C

B

5cm

3 cm Calculer

AB

(arrondir au dixième)

D:

ABC

est un triangle rectangle en

C

P: D’après le théorème de Pythagore on a :

C:

AB

²

= AC

²

+ C B

²

←−

On souligne la longueur qu’on veut calculer(pas obligatoire)

AB

²

= 3

²

+ 5

²

←−

On remplace les longueurs connues

AB

²

= 34 ←−

On calcule l’addition

AB = √

34 ←−

On "simplifie" le carré en utilisant√

AB ≈ 5 , 8

_cm.

←−

On calcule, on arrondit et on écrit l’unité

Exemple(Calcul d’un des côté formant l’angle droit):

C A

B

5cm 7 cm

Calculer

AC

(arrondir au dixième)

D:

ABC

est un triangle rectangle en

A

P: D’après le théorème de Pythagore on a :

C:

BC

²

= AC

²

+ AB

²

←−

On souligne la longueur qu’on veut calculer(pas obligatoire)

AC

²

= 7

²

− 5

²

←−

On "sort" la longueur à calculer de l’addition et le calcul devient : plus grande longueur²−plus petite longueur²

AC

²

= 24 ←−

On calcule la soustraction

AC = √

24 ←−

On "simplifie" le carré en utilisant√

AC ≈ 4 , 9

_cm.

←−

On calcule, on arrondit et on écrit l’unité

Exercice :

J E D I est un rectangle tel que J E = 10_{cm et}E D = 6_cm.

I D

E J

CalculerJ D (arrondir au dixième de cm).

Solution :J E D I est un rectangle doncJ E Dest un triangle rectangle enE. D: J E Dest un triangle rectangle enE

P: D’après le théorème de Pythagore on a : C: J D²=J E²+I E²

J D²= 10²+ 6² J D²= 136 J D =√136 J D ≈11,7_cm.

Oral :

−

En classe :

−

À la maison : 99, 100 p. 256

(2)

2. Montrer qu’un triangle est rectangle

Si dans un triangle AB C l’égalité AB

²

= AC

²

+ B C

²

est vraie, alors AB C est rectangle en C . Réciproque du théorème de Pythagore

Exemple :

M O

N

11,6cm 8,4 cm

8cm Question :Montrer que le triangle

M N O

est rectangle.

Réponse : On donne le nom du plus grand côté

On élève ce plus grand côté au carré On élève au carré puis additionne les deux autres côtés

On obtient le même résultat, donc on l’écrit

On cite la propriété

On conclut en précisant où est l’angle droit D: Le plus grand côté est

[ N O ]

.

N O

²

= 11 , 6

²

= 134 , 56

M N

²

+ M O

²

= 8

²

+ 8 , 4

²

= 134 , 56

Donc

N O

²

= M N

²

+ M O

²_. P: D’après la réciproque du théorème de Pythagore,

C: Le triangle

M N O

est rectangle en

M

_.

Exercice :

A Y

N

8cm 6 cm

10 cm

Question :Le triangle

AY N

est-il rectangle?

Solution : D: Le plus grand côté est[Y N] NY²= 10²= 100

Y A²+AN²= 6²+ 8²= 100

DoncNY²=Y A²+AN²_. P: D’après la réciproque du théorème de Pythagore,

C: AY N est rectangle enA.

Exemple :

A

C

B

9 cm

6 cm 5cm

Question :

Le triangleAB C est-il rectangle?

Réponse :

Il n’y a pas égalité, on l’écrit

On conclut D: Le plus grand côté est

[ AC ]

.

AC

²

= 9

²

= 81

BC

²

+ AB

²

= 6

²

+ 5

²

= 61

Donc

AC

²

, BC

²

+ AB

²_. P: D’après la contraposée du théorème de Pythagore C: Le triangle

ABC

n’est pas rectangle

Oral :

−

En classe :

−

À la maison : 101, 102 p. 256

(3)

II − Trigonométrie

1. Vocabulaire et définitions

Dans un triangle rectangle, chaque côté porte un nom spécifique en fonction de l’angle marqué :

A B

C

hypoténuse côté opposé à

l’angleB C AE

côté adjacent à l’angleB C AE

A B

C

hypoténuse côté adjacent à

l’angleC B AE

côté opposé à l’angleC B AE

• l’hypoténuseest le côté « en face » de l’angle droit

• lecôté opposé à l’angleest le côté « en face » de l’angle.

• lecôté adjacent à l’angleest le côté « qui forme » l’angle avec l’hypoténuse.

Définitions

• Ce vocabulaire n’existe que si le triangle est rectangle.

• L’hypoténuse est le seul côté qui ne change pas quelque soit l’angle choisi.

Remarques

• Dans un triangle rectangle, lecosinus d’un angleaigu

D b

est le rapport :

cos

D b =

longueur du cSSotße adjacent þa l^′angle bD longueur de l^′hypotßenuse

• Dans un triangle rectangle, lesinus d’un angleaigu

D b

sin

D b =

longueur du cSSotße opposße þa l^′angle bD longueur de l^′hypotßenuse

• Dans un triangle rectangle, latangente d’un angleaigu

D b

tan

D b =

longueur du cSSotße opposße þa l^′angle bD longueur du cSSotße adjacent þa l^′angle bD

Définitions

Exemple :

A B

C

hypoténuse côté opposé à

l’angle

BC A

côté adjacent à l’angle

BC A

Dans le triangle

ABC

on a les relations : cos

BC A = AC

BC

sin

BC A = AB

BC

tan

BC A = AB

AC

(4)

Exemple :

E F

G

hypoténuse

côté opposé à l’angleF G E

côté adjacent à l’angleF G E

Dans le triangle

E F G

on a les relations : cos

F G E = E G

F G

sin

F G E = E F F G

tan

F G E = E F E G

• Ces relations ne sont vraies que dans un triangle rectangle.

• Il existe un moyen mnémotechnique pour retenir ses définitions le « Soh-Cah-Toa » :

Sinus opposé

hypoténuse

Cosinus adjacent hypoténuse

Tangente opposé

adjacent

Soh - Cah - Toa

Remarques

Oral :

7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 p. 208 En classe :

19 p. 209 À la maison :

23, 24 p. 209

2. Utiliser la trigonométrie pour calculer une longueur

Quand (toujours dans un triangle rectangle...) on connaît la mesure d’un angle et la longueur d’un côté, on utilise la trigo- nométrie pour calculer la longueur des autres côtés.

Exemple :

A

B

C

9 cm 21˚

h o

a

Question :calculer

AB

(arrondir au dixième de cm) Au brouillon :

ce qu’on connaît ce qu’on cherche

S o h - C a h - T o a

⇒

on utilise cosinus

Réponse :

on justifie pourquoi on peut utiliser la trigonométrie

On a trouvé qu’on devait utiliser cosinus on écrit sa définition avec les longueurs

Tout nombre peut s’écrire comme une fraction avec 1 au dénominateur cos

( 21

^◦

) =

^cos

( 21

^◦

)

1

on utilise le produit en croix

on utilise la calculatrice : D: Le triangle

ABC

est rectangle en

B

P: Donc d’après la trigonométrie on a : C: cos

BAC = AB

AC

cos

( 21

^◦

)

1

⁼

AB 9

AB

₌ ^cos

( 21

^◦

) × 9 1 AB ≈

8,4 cm

Avant d’utiliser sa calculatrice, il faut vérifier qu’elle est bien réglée en mode degré. Si oui, un "D" est affiché à l’écran.

Si non, il faut la configurer : , et on vérifie que le "D" est bien affiché.

À la calculatrice

(5)

Exemple :

E F

G

50˚ 7m h

o a

E G

(arrondir au dixième) Au brouillon :

ce qu’on connaît ce qu’on cherche

S o h - C a h - T o a

⇒

on utilise sinus

Réponse :

D: Le triangle

E F G

est rectangle en

F

. P: Donc d’après la trigonométrie on a : C: sin

F G E = E F

E G

sin

( 50

^◦

)

1 = 7

E G E G = 7 × 1

sin

( 50

◦

) E G ≈ 9 , 1

_m

Oral :

−

En classe :

2 p. 207 + 28 p. 209 À la maison :

3, 4 p. 207 + 29 p. 209 + 43, 44, 45 p. 210

3. Utiliser la trigonométrie pour calculer la mesure d’un angle

Quand on connaît la longueur de deux côtés dans un triangle rectangle, on peut calculer la mesure des angles aigus à l’aide de la trigonométrie.

Exemple :

E

S

P

5cm

6 cm

h o

a

?

Question :

calculer

E P S

(arrondir au degré).

Au brouillon :

ce qu’on connaît

S o h - C a h - T o a

⇒

on utilise tangente

Réponse :

on justifie pourquoi on peut utiliser la trigonométrie

On a trouvé qu’on devait utiliser tangente on écrit sa définition avec les longueurs On utilise la calculatrice

pour faire "disparaître" tan : D: Le triangle

E P S

est rectangle en

S

P: Donc d’après la trigonométrie on a : C: tan

E P S = E S

S P

tan

E P S

₌

5 6 E P S ≈ 40

^◦

Pour conclure, on va faire un petit exercice :

(6)

Exemple :

U S

B

9m

11m h

o a

?

SU B

(arrondir au degré).

Au brouillon :

ce qu’on connaît

S o h - C a h - T o a

⇒

on utilise sinus

Réponse :

D: Le triangle

U S B

est rectangle en

S

P: Donc d’après la trigonométrie on a : C: sin

SU B = S B

U B

sin

SU B = 9

11 SU B ≈ 55

^◦

Oral :

−

En classe :

5 p. 207 + 49 p. 211 À la maison :

6 p. 207 + 50, 51 p. 211 + 54, 55 p. 212

Tâche complexe : 94, 95 p. 219