1) étudier un énoncé et sa réciproque
énoncé : Si un quadrilatère est un losange , alors ses diagonales sont perpendiculaires.
Enoncer la propriété réciproque. Cette réciproque est-elle vraie ?
Si ABCD est un losange , alors AB = BC = CD = DA
A et C sont situés à égale distance de B et D , donc (AC) est la médiatrice de [BD]
donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires
Un contre-exemple suffit pour montrer que la réciproque est fausse
Si un quadrilatère admet des diagonales perpendiculaires , alors c'est un losange. (Faux)
2) Pythagore
- le théorème de Pythagore : "Si ABC est un triangle rectangle en A , alors BC² = AB² + AC²"
permet de calculer un côté d'un triangle rectangle connaissant les 2 autres côtés
- la contraposée du théorème de Pythagore :"Si BC² ≠ AB² + AC² alors le triangle ABC n'est pas rectangle en A" permet de prouver qu'un triangle n'est pas rectangle
- la réciproque du théorème de Pythagore "Si BC² = AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A" permet de prouver qu'un triangle est rectangle
Le triangle ABC est-il rectangle ? Le théorème de Pythagore donne : AB² = 4² + 6² = 52
BC² = 8² + 5² = 89 AC² = 1² + 12² = 145 Le plus grand côté est AC AB² + BC² = 52 + 89 = 141 AB² + BC² ≠ AC² , donc d'après la contraposée du théorème de Pythagore ABC n'est pas rectangle en B , donc n'est pas rectangle.
3) le théorème de Thales et sa réciproque
Les droites de même couleur sont parallèles . Montrer que (AC) est parallèle à (DF)
O,A,D sont alignés ainsi que O,B,E et (AB) est parallèle à (DE) , donc d'après le théorème de Thales , OA
OD = OB
OE . De même on montre que OB OE = OC
OF On en déduit que OA
OD = OC
OF . Or O,A,D d'une part et O,C,F d'autre part sont alignés dans le même ordre , donc d'après la réciproque de Thales , (AC) est parallèle à (DF)
4) les droites remarquables dans un triangle
Les droites (BD) et (AC) sont perpendiculaires Les droites (CE) et (AB) sont perpendiculaires Montrer que les droites (AF) et (BC) sont perpendiculaires
(BD) et (CE) sont 2 hauteurs du triangle ABC . Leur point d'intersection F est donc
l'orthocentre du triangle ABC. (AF) est la troisième hauteur du triangle , et par conséquent , elle est perpendiculaire au côté opposé (BC) .
5) lignes trigonométriques dans un triangle rectangle cos (angle) = côté adjacent
hypoténuse , sin(angle) = côté opposé
hypoténuse ; tan(angle) = côté opposé côté adjacent
30° 45° 60°
cos 3
2
2 2
1 2
sin 1
2
2 2
3 2
tan 3
3
1 3
énoncé 1 : calculer des longueurs à partir d'angles
HC = 4 cm
1) Calculer la valeur exacte de AC 2) Calculer la valeur exacte de AH 3) Calculer la valeur exacte de AB 4) Calculer l'aire exacte du triangle ABC
1) AHC est rectangle en H; cos HCA = CH
AC donc AC = CH cos HCA
= 4
cos 60° = 4 1 2
= 4 × 2 = 8
2) Avec le sinus du même angle ou avec Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H AH² = AC² − HC² = 8² − 4² = 64 − 16 = 48 , donc AH = 48 = 4 3
3) sin ABH = AH
AB donc AB = AH sin ABH
= 4 3
sin 45° =4 3 2 2
=4 3×2
2 = 4 3 2 = 4 6
4) ABH est un triangle isocèle rectangle en H , donc BH = AH = 4 3 donc BC = BH + HC = 4 3 + 4
L'aire de (ABC) est donc AH × BC
2 = 4 3(4 3 + 4)
2 = 2 3(4 3 + 4) = 24 + 8 3 (cm²) énoncé 2 : calculer les angles d'un triangle rectangle
ABC est un triangle rectangle en A . avec AB = 3 et AC = 4 . Calculer les angles du triangle
A C
B tan ABC = AC
AB = 4
3 , la touche tan−1 de la calculatrice permet d'obtenir ABC ≈ 53,13°
(pour obtenir tan−1 sur Casio , SHIFT COS) donc ACB = 90° − ABC ≈ 36,87°
On peut remarquer qu'avec la tangente, on n'a pas besoin de calculer l'hypoténuse qui valait ici 3² + 4² = 5 .
6) théorème de l'angle inscrit Calculer les angles demandés
7) Cercle circonscrit à un triangle rectangle
énoncé A
B J C
I K
H
ABC est un triangle rectangle en B . (BH) est la hauteur issue de B . I,J et K sont les milieux des côtés .
Montrer que B,I,H,K,J appartiennent au même cercle . (Trouver des triangles rectangles de même hypoténuse)
