A420. Deux carrés dans un triangle
Trouver les dimensions du triangle pythagoricien d’aire minimale dans lequel on peut tracer deux carrés distincts dont les dimensions des côtés sont entières et dont les quatre sommets reposent sur son périmètre.
Nota : un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont des entiers.
Solution proposée par Paul Voyer:
L'énoncé peut se résumer à la figure suivante, dans laquelle a, b, c, et les côtés des carrés sont entiers, où l'on recherche le triangle d'aire bc la plus petite possible.
Carré 1 : AEDF sur l'angle droit.
Le triangle EDC, homothétique de ABC, est pythagoricien comme lui.
Le triangle EDC est un homothétique par un facteur entier d'un triangle pythagoricien plus petit "de base", de même forme que le triangle ABC.
Si on choisit le triangle 3, 4, 5 comme triangle "de base", alors le triangle ABC a pour côtés : AB=4m ; BC=5m ; AC=3m, le facteur m devant rendre entiers les côtés de AEDF.
Equation de BC : m x 4 +
m y
3 =1 ; et pour le point D : x=y.
En résolvant, D a pour coordonnées x=y=
7
12m, entières si m est multiple de 7.
Carré 2 : IJKL sur l'hypoténuse.
Le triangle AIL, homothétique de ABC, est pythagoricien.
Le triangle AIL est un homothétique par un facteur entier du même triangle pythagoricien "de base" que précédemment.
Si on choisit le triangle 3, 4, 5 comme triangle "de base", alors le triangle ABC a pour côtés : AB=4m ; BC=5m ; AC=3m, m devant rendre entiers les côtés du carré ILNM.
La construction du carré se fait par homothétie comme indiqué sur la figure.
Equation de BC : m x
4 +
m y 3 =1.
Point F : x=7m, y=4m ; droite AF : y=
7 4x
Point G : x=3m ; y=7m ; droite AG : y=
3 7x
Point M : m x 4 +
m x 21
4 =1 ; x=
37 84m ; y=
37 48m
Point N : m x 4 +
m x 9
7 =1 ; x=
37 36m ; y=
37 84m
MN²= 37²
)² 48 84 ( )² 36 84
(
m²=(37
60m)² ; MN est entier si m est multiple de 37.
Le plus petit facteur m possible, devant être multiple de 7 et de 37, est 7x37=259.
Le triangle répondant à l'énoncé a pour côtés 777, 1036, 1295.
On a bien le carré AEDH 444x444 et le carré INMK 420x420 à côtés entiers.
On peut vérifier qu'il est plus petit que pour tout autre triangle "de base" que "3, 4, 5".
