Théorème des deux carrés
Florian BOUGUET
Référence : PERRIN: Cours d’algèbre
On cherche à caractériser les nombres s’écrivant comme une somme de deux carrés : Σ =
n∈N/n=a2+b2;a, b∈N
On noteraPl’ensemble des nombres premiers deN. Theorème 1
Soitn∈N, n=P
p∈Ppνp(n) Alors
n∈Σ⇔νp(n)est pair quandp≡3[4]
Avant de chercher à démontrer ce théorème, introduisons un lemme qui va s’avérer utile à la fin de la preuve : Lemme 1
Soitp∈P, p >2. Alors
(i) xest un carré modulo p si, et seulement si,x(p−1)/2= 1.
(ii) (-1) est un carré modulo p si, et seulement si,p≡1[4].
Preuve du lemme :
Remarquons d’abord que le casp= 2est évident, tous les éléments deF2étant des carrés. Soit doncp∈P, p >2.
Les nombres premiers différents de 2 sont évidemment impairs, on a doncp≡1ou3[4]. Remarquons enfin que : (?) (p−1)
2 est pair ⇔p≡1[4]
NotonsF∗2p l’ensemble des carrés deF∗p, c’est-à-dire des éléments inversibles deFps’écrivant comme carré d’un élément deFp. On va montrer que
x∈F∗2p ⇔x(p−1)/2= 1
NotonsA={x∈F∗p/x(p−1)/2= 1}. Le polynômeX(p−1)/2−1possède au plus(p−1)2 racines, donc|A| ≤ (p−1)2 . De plus, notons
Φ : F∗p → F∗2p
x 7→ x2
Φest évidemment surjectif,ker Φ ={±1}d’où la factorisation F∗p
Φ //
F∗2p
F∗2p
{−1,1}
Φ¯
==
1
Φ¯ est un isomorphisme, d’où|F∗2p |=(p−1)2 . Six∈F∗2p ,x=y2 x(p−1)/2= (y2)(p−1)/2=yp−1= 1
DoncF∗2p ⊆A, et doncF∗2p =Apar argument de cardinalité, ce qui démontre (i).
On déduit tout de suite (ii) de (i) par(?).
Preuve du théorème :
La fait important à remarquer à propos deΣest quea2+b2= (a+ib)(a−ib). Cela nous invite donc naturellement à travailler dans l’anneau des entiers de GAUSS
Z[i] ={a+ib/a, b∈Z}
Cet anneau est euclidien grâce au stathme N(a+ib) = (a+ib)(a−ib) =a2+b2 Il est bon de savoir redémontrer que :
– N(zz0) =N(z)N(z0)(immédiat)
– les éléments inversibles deZ[i]sont exactement les éléments de norme 1 :1,−1, i,−i.
On a donc la caractérisation suivante deΣ: n∈Σ⇔ ∃z∈Z[i]tel quen=N(z)
Notons que sin=N(z), n0=N(z0)alorsnn0=N zz¯0
.Σest donc stable par multiplication, ce qui nous invite à nous pencher surP∩Σ. Démontrons l’équivalence suivante pourp∈P:
p∈Σ⇔pest réductible dansZ[i]
En effet, sip∈Σ,p=N(z) =z¯z. De plusp=N(z)>1donczet¯zne sont pas inversibles, doncpest réductible.
Dans l’autre sens, sip=zz0alorsN(p) =p2=N(z)N(z0). Cette égalité a lieu dansNetN(z), N(z0)6= 1donc N(z) =N(z0) =p, doncp∈Σ, CQFD. Rappelons que
Z[i]
(p) 'Z[X]/(X2+ 1)
(p) ' Z[X]/(p)
(X2+ 1) ' Fp[X]
(X2+ 1) On a maintenant la suite d’équivalences suivante :
pirréductible dansZ[i] ⇔ (p)premier deZ[i]
⇔ Z[i]/(p)intègre
⇔ Fp[X]
(X2+ 1) intègre
⇔ X2+ 1irréductible surFp
⇔ X2+ 1n’a pas de racine dansFp
⇔ (−1)n’est pas un carré dansFp
Autrement dit
p∈Σ⇔pest réductible dansZ[i]⇔(−1)est un carré modulop
En utilisant le lemme, en notant la stabilité par multiplication deΣet en remarquant que les entiers au carré sont trivialement des éléments deΣon pourra conclure la réciproque dans le théorème (ce qui n’est déjà pas mal).
Il nous reste donc à démontrer l’implication, ce qui sera rapide compte tenu du travail préalablement fourni. En effet, soitn=a2+b2∈Σet soitp∈P, p≡3[4]. Siνp(n) = 0, le résultat est vrai. Sinon, cela signifie quepdivise n. Remarquons alors que, puisquep≡3[4],pest irréductible dansZ[i].pdivise(a+ib)(a−ib)doncpdivise (par
2
exemple)a+ib.pétant réel,pdiviseaetb. On peut notera=pa0etb=pb0. Alorsn=a2+b2=p2(a02+b02) donc
n
p2 =a02+b02∈Σetνp n/p2
=νp(n)−2
Par récurrence, on peut donc montrer queνp(n)est paire, ce qui conclut le théorème.
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