A420 - Deux carrés dans un triangle

A420 - Deux carrés dans un triangle Solution proposée par Jean Louis Margot

α d

a c d

b tg(α) =

a b d a

d 

 

b a d ab

 

α

a2

e e

α a1

sin(α) =

c b a

e 

2

 a₂= b

ec cos(α)=

c a e

a¹   a₁= c ea

bc ab e c

c a b e c a a

a ( )

) (

2 2

1

 









ab b a

abc ab

c e abc



 

 ₂  _{2 2}

Soient : aqa₁ et bqb₁ avec a₁ et b₁ premiers entre eux . ---



1 1

1 1

b a

b q a b a d ab

 

 

a1 et b₁ premiers entre eux , donc (a₁ + b₁) et a₁b₁ sont premiers entre eux et (a₁ + b₁) divise q

---



1 1 2 1 2 1

1 1 2

2 a b ab

c b a ab

b a e abc



 



 

D’autre part c² a²b²donc cq a₁² b₁², et c₁  a₁² b₁² est entier

1 1 2 1 2 1

1 1 1 1 1

2 1 2 1

1 1

b a b a

c b q a

b a b a

c b e a



 



 

Soit p diviseur premier de a₁b₁c₁ et a₁² b₁² a₁b₁

Si p divise a₁ , alors p divise b₁²donc b₁ , impossible puisque a₁ et b₁ sont premiers entre eux.

De même si p divise b₁ .

Si p divise c₁ , alors p divise a₁²b₁² donc p divise a₁b₁ et l’on retombe sur le cas précédent.

donc a₁b₁c₁ et a₁² b₁² a₁b₁ sont premiers entre eux donc (a₁² b₁² a₁b₁) divise q

---

(a₁² b₁² a₁b₁) = (a₁ b₁)² a₁b₁ et (a₁ + b₁) sont premiers entre eux donc (a₁² b₁² a₁b₁)(a₁ + b₁) divise q

soit a =(a₁² b₁² a₁b₁)(a₁ + b₁)a₁ b =(a₁² b₁² a₁b₁)(a₁ + b₁)b₁

c =(a₁² b₁² a₁b₁)(a₁ + b₁)c₁, avec c₁² a₁² b₁² d = (a₁² b₁² a₁b₁)a₁b₁

e = (a₁ + b₁)a₁b₁c₁

Plus petits entiers a₁ et b₁ tels que c₁² a₁² b₁² a1 = 3 , b₁ = 4, c₁ = 5

a = (25+12)(7)3= 777 b = (25+12)(7)4 = 1036 c = (25+12)(7)5 = 1295 d = (25+12)(12)= 444 e = (7)(3)(4)(5) = 420