D275 - La saga des deux carrés (1er épisode) Problème proposé par Dominique Roux
On part de deux carrés ABCD et AB'C'D' de centres O et O', orientés dans le même sens.
On construit les milieux B" et D" de BB' et DD' ainsi que les milieux E et F de BD' et DB'.
1) Montrer que les 3 segments OO', B"D", EF ont le même milieu G.
2) Montrer que OEO'F est un carré de centre G.
3) À quelle condition sur (ABB') la somme des aires des carrés ABCD et AB'C'D' est-elle égale à 4 fois l'aire de OEO'F ?
4) À quelle condition sur (ABB') les 4 points O, O', B", D" sont-ils alignés ? Solution par Patrick Gordon
Nous proposerons d'abord une solution analytique, moins élégante que la solution géométrique (voir ci-après), mais qui se prête bien aux questions 3 et 4.
solution analytique
Plaçons le carré ABCD de telle sorte que les coordonnées de A, B, C, D soient :
A (0,0) B (0,1) C (1,1) D (1,0)
Définissons le carré A'B'C'D' comme résultant de ABCD par une rotation d'angle θ et une homothétie de rapport r.
Les coordonnées de tous les points du problème en résultent :
B' – r sinθ r cosθ
D' r cosθ r sinθ
B" – r sinθ / 2 (1 + r cosθ) / 2 D" (1 + r cosθ) / 2 r sinθ / 2 E r cosθ / 2 (1 + r sinθ) / 2 F (1 – r sinθ) / 2 r cosθ / 2
O 1/2 1/2
O' r√2/2 cos(θ + π/4) r√2/2 cos(θ – π/4) 1) Avec ces expressions, et en se rappelant que :
cos(θ + π/4) = (cosθ – sinθ) / √2,
on vérifie sans peine que les milieux de OO', B"D", EF sont confondus en un même point G de coordonnées :
G 1/4 (1 + r√2 cos(θ + π/4) 1/4 (1 + r√2 cos(θ – π/4)
2) Pour montrer que OEO'F est un carré de centre G,
on forme la produit scalaire de OE par OF, qui est bien = 0 et l'on calcule OF² dont on vérifie qu'il est bien égal à OE², les deux valant :
OE² = OF² = (r² – 2r cosθ +1) / 4
On relève en passant que OE et OF sont donc égaux à la moitié de DD' ou de BB' (égaux car se déduisant l'un de l'autre par une rotation de π/2).
3) Or OE² = OF² est aussi l'aire du carré OEO'F.
Pour que cette aire soit le quart de la somme des aires des carrés ABCD et AB'C'D', qui vaut r² + 1, il faut que 2 r cosθ = 0, c’est-à-dire, soit que le carré AB'C'D' soit réduit à un point (solution sans grand sens), soit que cosθ = 0, c’est-à-dire que la rotation soit de π/2, le rapport d'homothétie restant quelconque.
4) Pour rechercher à quelle condition les 4 points O, O', B", D" sont alignés, on calcule les pentes de OO' et de B"D".
On trouve pour condition d'égalité :
2 r² [cos²(θ + π/4) + cos²(θ – π/4)] = 2.
Mais cos(θ – π/4) n'est autre que sin(θ + π/4) et la condition se réduit donc à r = 1.
La condition est donc que le rapport d'homothétie soit égal à 1, la rotation restant quelconque.
solution géométrique
OE joint le milieu de BD à celui de DD'. Donc OE est parallèle à DD' et de longueur ½ DD'.
O'F joint le milieu de B'D' à celui de B'D. Donc O'F est parallèle à DD' et de longueur ½ DD'.
OEO'F est donc un losange.
Mais BB' et DD' s'échangent dans une rotation (A, π/2), donc BB4 est perpendiculaire à DD' et OEO'F est donc un carré. Soit G son centre.
On a ainsi répondu à la question 2.
Pour la question 1, il reste à montrer que G est le milieu de B"D". Or :
B"E joint le milieu de BB' à celui de DD'. Donc B"E est parallèle à B'D' et de longueur
½ B'D';
D"F joint le milieu de DD' à celui de DB'. Donc D"F est parallèle à B'D' et de longueur
½ B'D'.
B"ED"F est donc un parallélogramme et le milieu de B"D" est donc celui de EF, c’est-à-dire G.
On a ainsi répondu à la question 1.
Pour la question 3, on reprend les notations de la partie analytique :
côté de ABCD = 1 côté de AB'C'D' = r angle de la rotation = θ
Avec ces notations, puisque, comme on l'a vu, OE = ½ DD', OE² = ¼ DD'² = ¼ (r² – 2r cosθ +1)
Or OE² est l'aire du carré OEO'F et, pour que cette aire soit le quart de la somme des aires des carrés ABCD et AB'C'D', qui vaut r² + 1, il faut que 2 r cosθ = 0, c’est-à-dire, soit que le carré AB'C'D' soit réduit à un point (solution sans grand sens), soit que cosθ = 0, c’est-à-dire que la rotation soit de π/2, le rapport d'homothétie restant quelconque.
Pour la question 4, on veut que les 4 points O, O', B", D" soient alignés.
On peut donc tenter d'écrire :
soit que B"D" est parallèle à OO',
soit que B"D" est perpendiculaire à EF (puisque OO' l'est).
Dans les deux cas, des calculs d'angles semblent nécessaires et, à ce compte, nous préférons la solution analytique ci-dessus.
