A558. La saga de la somme des carrés (1er épisode) A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
Problème proposé par Dominique Roux
Q1 : Combien existe-t-il de suites de 49 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
Q2 : Peut-on trouver 61 entiers consécutifs dont la somme des carrés est un carré parfait?
Solution proposée par Paul Voyer
La somme des carrés de 1 à n est 1+2²+3²+…+n²=
6 ) 1 2 )(
1 (n n n
Q1 S=k, k+1, …, k+48
La somme des carrés de k à k+48 est
6 ) 1 2 )(
1 ( 6
) 97 2 )(
49 )(
48
(
k k k k k
k
=49k²+2352k+38024
=49(k²+48k+776), est carré parfait si (k+24)²+200=n² n²-(k+24)²=200
(n+k+24)(n-k-24)=200=2³.5² =1.200=2.100=4.50=5.40=8.25=10.20 (+/-) Ne peuvent être retenus que les facteurs tous deux pairs, ce qui exclut 1, 5 et 25.
6 solutions dont une seule si k>0 :
k=-19 somme de -19 à 29 = 11025 = 105² k=-1 somme de -1 à 47 = 35721 = 189² k= 25 somme de 25 à 73 = 127449 = 357² k=-73 somme de -73 à -25 = 357²
k=-47 somme de -47 à +1 = 189² k=-29 somme de -29 à +19 = 105²
Q2
La somme des carrés de k à k+60 est 61k²+3660k+73810
=61(k²+60k+1210), carré parfait si (k+30)²+310=n² 310=4p+2, impossible.
![A 4900. Somme de carrés sous contrainte (1er épisode) [****] Problème proposé par Jacques Boudier Q](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)