D295. La saga des parallélogrammes (1er épisode)
On considère un triangle ABC non isocèle dans lequel les points O, I et H désignent respectivement le centre du cercle circonscrit,le centre du cercle inscrit et l'orthocentre.
On trace les milieux A1,B1 et C1 des arcs BC,CA et AB qui ne contiennent pas les sommets A,B et C du triangle puis les symétriques A2,B2 et C2 de ces points par rapport aux côtés BC, CA et AB.
Démontrer que le centre du cercle circonscrit au triangle A2B2C2 forme avec les points O,I et H un parallélogramme dont on déterminera le centre.
Le cercle ABC a pour rayon un. Il existe 3 nombres complexes a,b,c de modules un, tels que les affixes des points A, B, C, A1, B1, C1 soient respectivement a², b², c², – bc, – ca, – ab.
Les points H et I ont respectivement pour affixes (a²+ b²+ c²) et (– bc – ca – ab).
Les affixes de A2, B2, C2 sont (b²+c²+bc), (c²+a²+ca), (a²+b²+ab).
Le symétrique Ω de I par rapport au milieu de OH a pour affixe (a²+b²+c²) + (ab+bc+ca).
Le vecteur A2Ω a pour affixe [(a²+b²+c²) + (ab+bc+ca)] – (b²+c²+bc) = a² + ab + ca = a(a+b+c).
│a│= 1, donc │a(a+b+c)│= │a+b+c│, calculs analogues pour B2Ω et C2Ω.
Le quatrième sommet Ω du parallélogramme OIHΩ est équidistant des points A2, B2, C2 : C'est le centre du cercle circonscrit à A2B2C2. Le rayon de ce cercle est │a+b+c│.
Le centre du parallélogramme OIHΩ, milieu de OH, est aussi le centre du cercle d'Euler du triangle ABC.
