D1967 – La saga des quatre centres Problème proposé par Dominique Roux
On donne deux points A et B et un cercle (C) de centre C. Une droite variable, passant par B, coupe le cercle en deux points P et Q.
1er épisode : on suppose que A est le centre du cercle. Quelles sont les courbes décrites par les 4 centres des cercles inscrit et exinscrits à APQ ?
Solution par Patrick Gordon
courbe décrite par I (centre du cercle inscrit dans APQ)
Dans le triangle APQ, le centre I du cercle inscrit est à l'intersection de AH, bissectrice de PAQ et de la bissectrice de APQ.
On note R le rayon du cercle, b la distance AB et t le demi-angle intérieur en P du triangle APQ.
On a :
PH = R cos2t HA = R sin2t
HI = PH tan t = R cos2t tan t D'où :
AI = HA – HI = R (sin2t – cos2t tan t) = R (sin2t cos t – cos2t sin t) / cos t = R tan t.
AI est le rayon polaire de l'équation de la courbe décrite par I.
Reste à déterminer l'angle polaire = BAH. Or, est le complémentaire de l'angle en B du triangle PAB et, dans ce triangle, la loi des sinus nous indique que :
sin(π/2 – ) = cos = R/b sin2t.
D'où l'équation en polaires de la courbe décrite par I, avec le paramètre t :
= R tan t cos = R/b sin2t.
Cette définition paramétrique ne se prête pas au calcul d'une expression simple de la forme = f() et il vaut donc mieux passer directement aux coordonnées cartésiennes :
x = cos y = sin
Moyennant quelques simplifications on aboutit à : bx (x² + y² + R²) = 2R² (x² + y²).
Le centre I du cercle inscrit décrit donc une cubique (courbe du 3ème degré).
courbe décrite par J (centre du cercle exinscrit à A)
Quant à J, centre du cercle exinscrit à A, il a le même angle polaire et, au moyen des mêmes calculs avec les lignes trigonométriques de t et 2t, on trouve aisément que
AI. AJ = R².
Le centre J du cercle exinscrit dans A décrit donc la courbe inverse de la précédente dans l'inversion de centre A et de puissance R².
Nota : le calcul de l'équation cartésienne donne la même expression que pour I, soit : bx (x² + y² + R²) = 2R² (x² + y²).
Cette courbe est donc sa propre inverse.
courbes décrites par K et L (centres des autres cercles exinscrits) On note Q' le point diamétralement opposé à Q.
Q étant sur le cercle, la bissectrice de PQA coupe ce cercle au milieu de l'arc PQ'.
Quant à la bissectrice extérieure en A, étant normale à la bissectrice intérieure qui coupe le cercle au milieu de l'arc PQ, elle coupe elle aussi le cercle au milieu de l'arc PQ'. Donc L est le milieu de l'arc PQ' (on peut dire aussi que LK est un diamètre parallèle à PQ, etc.).
Naturellement, le même raisonnement vaut pour K et K et L décrivent donc des arcs du cercle C.
Dans le cas particulier où B est sur le cercle (C) (disons qu'il est le point P), la courbe que décrivent I et J est une strophoïde droite.
En effet, prolongeons la bissectrice intérieure de BAQ jusqu'à son intersection U avec la tangente en B au cercle (C).
On a :
AI = R tan t (comme on l'a vu) AU = R/cosq.
Mais QAB' est l'angle au centre qui correspond à l'angle inscrit QBA et vaut donc 4t.
On a donc, dans l'angle plat BAB' : 2q + 4t = π, d'où : q = π/2 – 2t
Donc AU = R/sin2t et, par conséquent : IU = AU – AI = R/sin2t – R tan t Il est dès lors aisé de voir que : IU = BU,
ce qui est la définition même de la strophoïde droite.
Illustrations avec Geogebra 1er cas B extérieur au cercle (C)
2ème cas B sur le cercle (C)
3ème cas B est à l’intérieur du cercle
