Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit 1 10

(1)

Chapitre XXVI : Distance, bissectrice et cercle inscrit

a. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir où est situé le point d’une droite le plus proche d’un point donné.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2742 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2744 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2746 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2745 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748 b. 4^ème : [Abordable en 6^ème] connaître et utiliser la définition de la bissectrice.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=156 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=157 c. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire la bissectrice d’un angle.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=158 d. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir et utiliser la propriété d’équidistance des

points de la bissectrice.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2748

e. 4^ème : [Pas dans le socle commun] savoir construire le cercle inscrit dans un triangle.

Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2750 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2751 Mathenpoche : http://www.labomep.net/outils/em/display.php?idres=2752

Exercice n°1 (Source Sésamath)

Trouve le plus court chemin 1. Conjecture

a. De la rive gauche d'un fleuve, Alexia crie à Hamid qui est assis de l'autre côté du fleuve qu'elle ne sait pas nager. Trop éloigné d'elle, Hamid l'entend très mal. Reproduis le schéma ci-contre en plaçant Hamid (représenté par le point H) sur la rive droite au plus près d'Alexia, à l’aide d’instrument de géométrie.

b. Explique précisément comment tu as placé le point H sur ton schéma.

2. Démonstration et définition

a. Sur le schéma précédent où H est placé comme indiqué à la question 1., place sur la rive droite un point L distinct de H. Quelle est la nature du triangle AHL ?

b. Que peux-tu en déduire concernant les longueurs des segments [AH] et [AL] ? Justifie.

c. Recopie et complète les phrases suivantes :

« La distance d'un point A à une droite (d) est la longueur du segment [AH] où H est le pied de la ... relative à ... passant par ... . C'est la plus courte des distances entre ... et ... . ».

A

H rive gauche

rive droit e

(2)

Cours à

compléter

^{, à}

montrer

au professeur puis, s’il est validé, à

recopier intégralement

dans le cahier de cours, sans rien oublier

Chapitre XXVI : Distance d’un point à une droite, bissectrice et cercle inscrit

I) Distance d’un point à une droite Définition n°1 :

La distance d’un point A à une droite (d) est la distance ……… qui sépare ce point A des points de la droite (d).

Propriété n°1 :

La distance d’un point A à une droite (d) est la distance AH, où H est le point d’intersection de (d) avec la p………. à (d) passant par ………

Exemple n°1

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Cours n°1

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Copier les savoirs, de mémoire, 6 fois, sur une feuille de brouillon, en « accordéon ».

COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.

Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )

AH est la distance de A à

(d).

Placez H sur la figure

(d) A

(3)

Contrôle du savoir faire

Refaites les exemples du savoir faire sur votre cahier d’exercices, sans regarder le cahier de cours, puis contrôlez que vous avez juste.

Exemple n°1

Exercice n°2 (Source : Sésamath)

Observe, recopie et complète :

a. La distance du point S à la droite (LT) est ... . b. La distance du point T à la droite ... est 6 cm.

c. Lepoint...estsituéà 10,5 cm deladroite ... . d. Le point ... est situé à ... de la droite (RF).

e. La distance du point E à la droite (NR) est comprise entre ... et ... .

a. Sur ton cahier, trace deux droites (m) et (d) ainsi qu'un point P, comme sur le dessin.

b. Jean, debout sur la digue, veut aller se baigner mais il doit d'abord passer par le parasol (au point P) pour prévenir ses parents. Représente sur ton schéma le trajet que Jean doit emprunter afin de marcher le moins longtemps sur le sable rendu brûlant par les rayons du Soleil.

1. Trace un segment [MN] de longueur 7 cm.

2. Place trois points S, T et U situés à 5 cm de la droite (MN) et tels que les triangles MNS, MNT et MNU soient respectivement rectangle, quelconque et isocèle.

3. Calcule l'aire de chacun de ces triangles.

Un point M étant donné, construis trois droites (d₁), (d₂) et (d₃) telles que M soit situé à 6 cm L

T S

8 cm 1 0 cm

6 cm

F R

N E

1 0 ,5 cm 1 3 ,5 cm

(m )

(d ) P

K

(d)

AH est la distance de A à

(d).

Placez H sur la figure

A

(4)

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Cours n°2

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Cours à

compléter

^{, à}

montrer

recopier intégralement

II) Bissectrice d’un angle Définition n°2 :

La bissectrice (b) d’un angle dαest l’axe de ……… de cet angle.

Propriété n°2 :

La bissectrice (b) d’un angle dαest la droite qui partage cet angle en

……… ……….. ……… ……….

……….

Démonstration :

Données :

On considère que (OB) est la bissectrice de l’angle aAOC. Exemple n°2

propriété n°3 :

Tout point de la bissectrice est à é………….. d………. des c……….. de l’angle.

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Cours n°2

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COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES OU DE COURS.

Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! )

On sait que : (OB) est la …………... de

aAOC.

Donc, d’après la définition, (OB) est ………..

………. …… ……….. l’angle

aAOC.

Donc aAOB est le ………. de l’angle

aBOC.

Or le ……… d’un angle est un angle de ………. ………..

Donc aAOB=………….

Construisez la bissectrice (b) de l’angle

aAOB :

1. Tracez un cercle de centre O. Il coupe les côtés de l’angle en deux points.

2. Tracez deux autres cercles, de centre chacun de ces points, de même rayon.

Ils se recoupent en deux points.

3. Tracez la droite qui joint un de ces deux points à O.

O

A B

C

B O

A

(5)

Contrôle du savoir faire

Exemple n°3

Exercice n°7

Découpe et remets dans l’ordre cette démonstration :

t. On sait que (CA) est la bissectrice de aDAB.

u. Or la bissectrice d’un angle est l’axe de symétrie de cet angle.

a. Donc [BC] est le symétrique de [DC]

s. Or le symétrique d’un segment est un segment de même longueur.

t. Donc BC = DC.

r. On sait que (BC) et (AB) sont perpendiculaires.

o. Or la distance d’un point A à une droite (d) est la longueur du segment joignant A à H,H étant le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A. u. Donc, BC est la distance de C à la droite (AB).

é. De même, DC est la distance de C à la droite (AD).

!. Donc C est à égale distance des droites (AB) et (AD).

A B

D C

Construisez la bissectrice (b) de l’angle

aAOB :

B O

A

(6)

I

30° 25°

3 0 ° 7 0 °

U

M

R Pour chacune des six figures ci-dessous, indique si la demi-droite [Oy) est la bissectrice de l'angletOz

. Justifie tes réponses quand c’est le cas en citant la propriété ou définition.

Exercice n°9

Sur la figure ci-contre, [AC) est la bissectrice de aDAB, et BC vaut 4,2 cm.

Combien vaut DC ? Justifiez votre réponse en le démontrant.

Exercice n°10

Sur la figure ci-contre, la droite (AR) est la bissectrice de l'angleaEAF. Démontre que le triangle FER est isocèle en R.

Exercice n°11

1. Sur ton cahier, trace un grand triangle DEF puis les bissectrices des angles aFDE et aEFD

qui se coupent en O.

2. Démontre que O est équidistant des trois côtés du triangle DEF.

3. Comment tracer la bissectrice de aFED en n'utilisant que ta règle non graduée ? Justifie.

Exercice n°12

Observe le dessin à main levée ci-contre.

Démontre que le point U est équidistant des droites (RS) et (RT).

Exercice n°13

1. Détermine, en justifiant, la mesure de l'angle aIMR

2. Que représente le point I pour le triangle MUR ? Justifie.

3. Déduis-en les mesures des angles aMUIetaIUR. 4. Combien vaut aMIU ? Justifie.

O

t

z y fig .1

O

t

z y fig .2

O

t

z y fig .3

O

t

z y fig .5

R

@o p tio n s;

@fig u r e ; A = p o in t( - 7 .2 , 6 .8 7 ) { (0 .2 3 ,- 0 .8 ) } ;B = p o in t( -7 .0 3 , 0 .7 7 ) { i } ;

A

E

F

R

S

T U

A

B

C D

(7)

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Cours n°3

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compléter

^{, à}

montrer

recopier intégralement

définition n°3 :

On appelle cercle inscrit d’un triangle le cercle dont le centre est à l’intersection des bissectrices, et tel que les trois côtés sont des tangentes à ce cercle.

Exemple n°4

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cours n°3

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Apprentissage du cours

COLLER LES ACCORDEONS SUR LE CAHIER D’EXERCICES.

Recopier le cours dans son cahier de cours (A LA MAISON ! ) Contrôle du savoir faire

Exemple n°4

Construisez le cercle inscrit au triangle ci- contre.

A

B

C

Construisez le cercle inscrit au triangle ci- contre.

A

B

(8)

A

B C

K

a. AC = 8 cm, aBAC = 60° et aACB = 50°.

b. AC = 10 cm, AB = 8 cm et aBAC = 45°.

c. ABC est isocèle en A tel que AB= 9 cm et BC = 6 cm.

d. ABC est un triangle équilatéral de côté 7,5 cm.

Exercice n°15

Trace un triangle dont le cercle inscrit a un rayon de 2,7 cm. Explique ta méthode.

Exercice n°16

1. Trace un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 cm etaABC = 30°.

2. Trace les bissectrices des angles aABC et aACB.

3. On appelle I le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. Calcule, dans cet ordre, les angles

aABC, aICA, aCAIet aAIC.

Exercice n°17

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle isocèle en A et K est le milieu de [BC].

a. Rappelle la définition d'une médiane dans un triangle. La droite (AK) est-elle une médiane de ABC ? Justifie.

b. Rappelle la définition de la médiatrice d'un segment. La droite (AK) est-elle la médiatrice du segment [BC] ? Justifie.

c. Rappelle la définition d'une hauteur dans un triangle. La droite (AK) est-elle une hauteur de ABC ? Justifie.

d. La droite (AK) est-elle la bissectrice issue de A dans le triangle ABC ? Justifie.

e. Dans un triangle isocèle, que dire de la droite passant par le sommet principal et par le milieu de la base ?

Exercice n°18

Reproduis une figure analogue à la figure ci-contre puis construis le point C tel que P soit le centre du cercle inscrit au triangle

ABC.

P A

B

(9)

Résultats et indications

Ex.1 :1.a. Mesurer… b. fais une phrase avec sujet, verbe et complément.2.a. isocèle, équilatéral, rectangle ? b.

Il y en a une forcément plus grande que l’autre. Ex.2 : a. Choisi entre 8 et 10. b.Choisi entre (SL) et (ST). c.

Choisi entre R et F…d. E… e.10,5 et…Ex.3 : des perpendiculaires à (d) et (m) passant par ….Ex.4 :1. et 2. : 3.Aire d’un triangle : base×hauteur

2 Ex.5 : et un cercle de rayon 4 cm, de centre M ? Ex.6 : 3. Ex.7 Début : on sait que (CA) est… - Or…… - Donc … Fin : donc C est à égale distance…

Quand l’ordre est correct, cela fait une phrase.,Ex.8 : Oui, oui, non, oui. Ex.9 : Utiliser la propriété 3.

Ex.10 : R est sur la bissectrice de EAF, donc à égale distance de … Ex.11 : 3. En traçant [EO) : O est sur la bissectrice de …., donc à égale distance des côtés … O est sur la bissectrice de …., donc à égale distance des côtés. Donc O est à égale distance…. Donc O est sur la bissectrice de ….Ex.12 : RU est une …Ex.13 :1. Somme des angles dans MRU.2.

aUMI = aIMR et aMRI =aIRU , donc I est le point d’intersection des…, 3. aMUI=35° 4. aMIU=120° Ex.14 :

M N

S T U

B

A C

45°

8 cm

10 cm

A

B

C

(10)

Ex.17 : a. Oui b. Oui (car le triangle est …) c. Oui (car le triangle …) d. Oui Ex.18 : commence par tracer la perpendiculaire à (AB) passant par P, puis le cercle de centre P…

A

B

I

P A

B

C