Chapitre 3
Repérage et problèmes de géométrie
Les savoir-faire
030. Calculer les coordonnées du milieu d’un segment.
031. Calculer la distance entre deux points.
I. Géométrie sans repère
1. Projeté orthogonal
On appelle projeté orthogonal d’un point M sur une droite davec M extérieur à cette droite, le point H inter- section de la droitedet de la perpendiculaire à la droited passant parM.
d
M
H
K Définition
Remarque :
Si le pointM est sur la droite d, alors il est son propre projeté orthogonal.
2. Distance d’un point à une droite
On appelledistance d’un point M à une droite d la longueurM H oùH est le projeté orthogonal de M sur la droited.
Cette distance est la plus courte distance entre le pointM et un point de la droite.
Définition
1
II. Géométrie avec repère
1. Repère du plan
Définirun repère du planc’est choisirtrois points non alignés.Dans un repère (O, I, J) quelconque :
−2 −1 2 3
−2
−1 2 3
O I
J
• Le pointO est l’origine du repère.
• L’axe des abscisses est la droite (OI), graduée dans le sens deOversI, avec la longueurOI comme unité de longueur ;
• L’axe des ordonnées est la droite (OJ), graduée dans le sens deO vers J, avec la longueur OJ comme unité de longueur.
Définition
2. Repères particuliers
• Si les droites sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal.
−1 2
−3
−2
−1 2 3 4
O I
J
• Si, de plus,OI =OJ, alors on dit que le repère est orthonormé.
2 2
O I
J
3. Coordonnées du milieu
On considère un repère du plan (O;I;J) et deux pointsA(xA ; yA) et B(xB ; yB).
Alors les coordonnées du point K, milieu du segment [AB] sont : xk= xA+xB
2 et yk= yA+yB
2 Propriété
2
−1 2 3 4 5
−1 2
3 4
5
O I
J
xA xB
yA
yB
A
B K
xA
xA+xB
2
xB
yA
yB
A
B K
xA
xA+xB
2
xB
yA
yB
A
B yA+yB K
2
Exemples :
On donne les pointsA(5 ; −3) etB(−1 ; 2).
Calculer les coordonnées du milieuI du segment [AB]. Vidéo
4. Longueur d’un segment
La propriété suivante n’est valable que dans un repèreorthonormé.
On considère un repèreorthonormé(O, I, J) et deux points A(xA ; yA) etB(xB ; yB).
Alors la longueur du segment [AB] est : AB=
q
(xB−xA)2+ (yB−yA)2 Propriété
−1 2 3 4
−1 2 3 4
O I
J
xA xB
yB
yA C
xB−xA yB−yA
A
B
Exemples :
On donne les pointsA(3 ; −2) etB(2 ; −2).
Calculer la longueurAB. Vidéo
3
