Produit scalaire dans l’espace.

(1)

Produit scalaire dans l’espace.

Corrigés d’exercices

Version du 17/05/2014

Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants :

Page 306 : N°22 Page 312 : N°66, 68, 72

Page 307 : N°27 Page 313 : N°79

Page 308 : N°36 Page 316 : N°86

Page 309 : N°40

N°22 page 306

1. Par lecture graphique des coordonnées du point B (on lit OB=8j), par définition du repère orthonormé

(

^{O ; ,}^{i j k}^,

)

et en tenant compte du fait que OADBCFGE est un cube, il vient : ^A

(

^{8 ; 0 ; 0}

)

^.

On a alors : OE=OB+BE=OB+OC =8j+8k . Donc : ^E

(

^{0 ; 8 ; 8}

)

^.

On a :

( )

1 1 1 1 1

8 8 8 4 8 4

2 2 2 2 2

OI =OB+BI =OB+ BE+BD =OB+ OC+ OA= j+ × k + × i = i + j+ k Donc : ^I

(

^{4 ; 8 ; 4}

)

^.

Le point K est défini par : 1 AK =4AF.

On a donc : ^AO⁺^OK ⁼¹₄

(

^AO⁺^OF

)

^{puis :}ÔK ⁼³₄ÔA⁺¹₄ÔF^.

Il nous faut donc les coordonnées des points A (nous les avons !) et F.

Pour le point F, on a facilement : OF=OC+CF=OC OA+ =8i +8k. Ainsi : ^F

(

^{8 ; 0 ; 8}

)

^.

On a alors : 3 1 3 1 3 1

8 8 ; 0 0 ; 0 8

4 4 4 4 4 4

K⎛⎜⎝ × + × × + × × + × ⎞⎟⎠^soit^K

(

^{8 ; 0 ; 2}

)

^.

Le point L est défini par : 5 CL=8CE.

(2)

On a donc : ^CO⁺^OL⁼₈⁵

(

^{CO OE}⁺

)

^{puis :}ÔL⁼³₈ÔC⁺⁵₈ÔE^.

On a immédiatement ^C

(

^{0 ; 0 ; 8}

)

et nous avons obtenu ci-dessus ^E

(

^{0 ; 8 ; 8}

)

^.

On a alors : 3 5 3 5 3 5

0 0 ; 0 8 ; 8 8

8 8 8 8 8 8

L⎛⎜⎝ × + × × + × × + × ⎞⎟⎠^{soit :}^L

(

^{0 ; 5 ; 8}

)

^.

En définitive :

(

^{8 ; 0 ; 0}

)

A , ^E

(

^{0 ; 8 ; 8}

)

^,^I

(

^{4 ; 8 ; 4}

)

^,^K

(

^{8 ; 0 ; 2}

)

^et^L

(

^{0 ; 5 ; 8}

)

^.

2. A partir de ^A

(

^{8 ; 0 ; 0}

)

^et^E

(

^{0 ; 8 ; 8}

)

, on a immédiatement : AE

(

0 8 ; 8 0 ; 8 0− − −

)

, soit :

(

^{8 ; 8 ; 8}

)

AE − . Il vient alors, le repère considéré étant orthonormé :

( )

⁸ ² ⁸² ⁸² ^{3 8}² ^{8 3}

AE = − + + = × =

8 3 AE =

A partir de là, on a immédiatement : 1

e AE

AE

= d’où :

1 1 1

; ;

3 3 3

e⎛⎜⎝− ⎞⎟⎠

3. A partir de ^I

(

^{4 ; 8 ; 4}

)

^,^K

(

^{8 ; 0 ; 2}

)

^et^L

(

^{0 ; 5 ; 8}

)

, on a facilement :

(

^{4 ; 8 ;} ²

)

IK − − et donc : ^IK² ⁼ ^IK ²⁼⁴²^{+ −}

( ) ( )

⁸ ²^{+ −}² ²⁼^{16 64 4}⁺ ^{+ =}⁸⁴

(

^{4 ;} ^{3 ; 4}

)

IL − − et donc : ^IL²⁼ ^IL ² ^{= −}

( ) ( )

⁴ ²^{+ −}³ ²⁺⁴²⁼^{16 9 16}^{+ +} ⁼⁴¹

(

^{8 ; 5 ; 6}

)

KL − et donc : KL²= KL ²= −

( )

⁸ ²+ +⁵² ⁶² =64 25 36 125+ + = Comme KL²=IK²+IL², il vient, d’après la réciproque du théorème de Pythagore :

Le triangle IKL est rectangle en I.

4. a. Un point ^{M x y z}

(

^; ^;

)

du plan appartient à la sphère S de centre Ω passant par O si, et seulement si, on a : Ω = ΩM O.

2 2

Ω = Ω

(3)

Comme le repère considéré est orthonormal, il vient : ^Ω^M²⁼

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^z⁻²

)

²

et ^Ω^O² ^{= −}

( ) ( ) ( )

² ²^{+ −}² ²^{+ −}² ² ⁼¹²^.

Une équation cartésienne de la sphère S de centre ^Ω

(

^{2 ; 2 ; 2}

)

et passant par O est :

(

^x⁻²

) (

²⁺ ^y⁻²

) (

²⁺ ^z⁻²

)

² ⁼¹²

b. Erreur dans l’énoncé, le cube considéré n’est pas inscrit dans la sphère S.

Rappelons qu’un cube est inscrit dans une sphère si chacun de ses 8 sommets est un points de la sphère. On vérifie aisément ici que les coordonnées du point ^G

(

^{8 ; 8 ; 8}

)

ne vérifient pas l’équation obtenue ci-dessus.

De fait, l’énoncé « devient » correct si on considère plutôt ^Ω

(

^{4 ; 4 ; 4}

)

^…

N°27 page 307

Comme le tétraèdre ABCD est régulier, les triangles ABC et DBC sont équilatéraux. Les droites

( )

^AI ^et

( )

^DI en sont les hauteurs respectivement issues des sommets A et D.

Si nous notons a la longueur des arêtes du tétraèdre, on a classiquement : 3 AI =DI= 2 a. On a alors :

( )

( ) ( )

2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

. cos , cos cos

2 4

1 1 1 3 3 1

2 2 2 4 4 4

IA ID IA ID IA ID a AID a AID

IA ID IA ID IA ID DA a a a a

⎛ ⎞

= × × =⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ × = ×

⎛ ⎞

= + − − = + − = ⎜⎝ + − ⎟⎠=

Il vient alors : 3 ² 1 ²

4a ×cosAID=4a et donc : 1

cosAID=3. D’où : AID 71° (valeur approchée par excès au degré près).

71 AID °

(valeur approchée par excès au degré près)

(4)

N°36 page 308

Comme l’espace est rapporté à un repère orthonormé, il vient immédiatement :

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

1

2 2

cos cos cos sin sin

cos sin cos sin

cos sin

1

u u α β α β α

α β α β α

β β α α

α α

=

= = + +

= × + × +

= + × +

= +

=

D’où : u =1. Le vecteur u est bien unitaire.

Dans un repère orthonormé, pour tous réels α et β, le vecteur ^u

(

^cos^α^cos^β^{; cos sin}^α ^β ^{; sin}^α

)

est unitaire.

N°40 page 309

1. On peut procéder de diverses façons.

En utilisant les propriétés algébriques du produit scalaire (c’est ce qui est ici attendu), il vient :

( )

² ² ²

0

. . . 4 16

BC IH BC IE EH BC IE BC EH BC BC BC AD

=

= + = + = = = = =

( )

0 0

. . . . 0

BJ FA BE EJ FA BE FA EJ FA

= =

= + = + =

( ) ( )

0 0

2 2 2

. . . .

1 1

. 2 4 2 4 2

2 2

2

JI JG JE EI JH HG JE JH JE HG EI JH EI HG

JE EI EF EF EF

= =

= + + = + + +

= − + = − + × = − + × = − +

= −

. 16

BC IH = , BJ FA. =0 et JI JG. = −2.

A titre de comparaison, on peut aussi effectuer les calculs à l’aide de coordonnées. Pour ce faire, on peut rapporter l’espace au repère

(

^{A i j k}^{; , ,}

)

ôùⁱ ⁼ ¹₂ÂB^, ^j⁼¹₄ÂDêt

1 k =2AE.

(5)

On a alors :

• AB=2i et donc ^B

(

^{2 ; 0 ; 0}

)

^.

• AC= AB+BC=2i +AD=2i +4j et donc : ^C

(

^{2 ; 4 ; 0}

)

^.

• AD=4j et donc : ^D

(

^{0 ; 4 ; 0}

)

^.

• AF= AB+BF = +2i AE= +2i 2k et donc : ^F

(

^{2 ; 0 ; 2}

)

^.

• 1

AI =2 AF et donc : ^I

(

^{1; 0 ; 1}

)

^.

• AG= AB+BC+CG=AB+AD+AE=2i +4j+2k et donc ^G

(

^{2 ; 4 ; 2}

)

^.

• AH =AD+DH = AD+AE=4j+2k et donc : ^H

(

^{0 ; 4 ; 2}

)

^.

• 1 1

2 2

AJ =AE+EJ =AE+ EH = AE+ AD= j+ k et donc ^J

(

^{0 ; 2 ; 2}

)

^.

On a alors :

(

^{2 ; 2 ; 2}

)

BC − et ^IH

(

⁻^{1 ; 4 ; 1}

)

et donc :

( )

. 0 1 4 4 0 1 16

BC IH = × − + × + × =

(

^{0 ; 4 ; 0}

)

BJ et ^FA

(

⁻^{2 ; 0 ;}⁻²

)

et donc :

( ) ( )

. 0 2 4 0 0 2 0

BC IH = × − + × + × − =

(

^{1 ;} ^{2 ; 1}

)

JI − − et ^JG

(

^{2 ; 2 ; 0}

)

et donc :

( ) ( )

. 1 2 2 2 1 0 2

JI JG= × + − × + − × = − On retrouve les résultats obtenus précédemment …

2. On a : ^{JI JG}^. ^{= − =}² ^JI^×^JG^×^cos

(

^{JI JG}^,

)

⁼^JI^×^JG^×^cos^IJG^.

Dans le triangle IEJ rectangle en E, on a : 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2

EI= ×EB= × ×EF= × × = et

1 1

4 2

2 2

EJ = ×ED= × = .

Alors, d’après le théorème de Pythagore : IJ = IE²+EJ² = 2²+2² = 2 4+ = 6. Dans le triangle JHG rectangle en H, on a : 1 1

4 2

2 2

JH = ×EH = × = et HG=2. Alors, d’après le théorème de Pythagore : JG= HJ²+HG² = 2²+2² =2 2.

(6)

On a donc : JI JG. = − =2 6 2 2 cos× × IJG.

D’où : 2 1 1

cosIJG= 6 2 2− = − 12 = −2 3

× puis IJG 106,8° (valeur approchée à 0,1°

près).

106,8

IJG ° (valeur approchée à 0,1° près).

N°66 page 312

Classiquement, les équations cartésiennes des plans

P

^et

Q

vont nous permettre d’obtenir une représentation paramétrique de leur droite d’intersection

D

^.

(

^; ^;

)

⁰ 2 1

2 1 0 2 1 3 2 1

3 3

2 1 1 1 2 1

3 3 3 3 3 3

2 1

2 1 1 1

2 1

3 3

3 3 3 3

3 3

2 1

3 3

1 1

3 3

x y z

x y z x y z x y z

M x y z

x y z x y z x z x z

y z z

y z x y z x z

x z

x z y z

x z

y z

z z

⎧ + =

+ − = + = + =

⎧ ⎧ ⎧ ⎪

∈ ⇔⎨⎩ − − − = ⇔⎨⎩ − = + ⇔⎨⎩ = + ⇔⎨⎪⎩ = +

⎧ = −⎛ + ⎞ ⎧ ⎧

= − = − = +

⎧ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ = + ⇔⎨⎪⎪⎩ = + ⇔⎨⎪⎪⎩ = + ⇔⎨⎪⎪⎩ = −

= +

⇔ = −

=

D

⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩

Dans le système ainsi obtenu, la cote « z » joue le rôle du paramètre et on a immédiatement, comme vecteur directeur de

D

^: ^{2 1}^; ^{; 1}

u⎛3 3 ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠, ou ^v⁼³^u

(

^{2 ; 1 ; 3}

)

^.

La droite d’intersection

D

, intersection des plans

P

^et

Q

admet pour vecteur directeur ^v

(

^{2 ; 1 ; 3}

)

^.

N°68 page 312

1. Soit

P

le plan le plan perpendiculaire à

D

et passant par A.

Tout vecteur directeur de

D

est un vecteur normal de

P

^.

(7)

D’après la représentation paramétrique de

D

, celle-ci admet pour vecteur directeur le vecteur ^u

(

^{2 ; 1 ;}^{− −}²

)

^.

Une équation cartésienne du plan

P

est donc de la forme : 2x− −y 2z+ =d 0. Cette équation étant vérifiée par les coordonnées du point A, on a :

2 1 4 2 10× − − × + =d 0, soit 22− + =d 0 et d =22 2x− −y 2z+22=0 est une équation cartésienne du plan perpendiculaire à

D

et passant par A.

2. La distance cherchée est la distance AH où le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite

D

, c'est-à-dire le point d’intersection du plan

P

et de la droite

D

^.

( )

( ) ( ) ( )

1 2

; ; / 2

2

2 2 22 0

2 1 2 2 2 2 22 0 9 18 0

2

x t

y t

H x y z t

z t

x y z

t t t t

t

= − +

⎧⎪ = −

∈ ⇔ ∃ ∈ ⎪⎨ = −⎪

⎪ − − + =

⎩

⇒ − + − − − − + = ⇔ + =

⇔ = −

P D

∩

Pour t= −2, on obtient alors : ^H

(

^{− + × −}^{1 2}

( )

^{2 ; 2}^{− −}

( )

^{2 ;}^{− × −}²

( )

²

)

^{, soit :}^H

⁽

⁻^{5 ; 4 ; 4}

⁾

^.

D’où : ^AH

(

⁻^{6 ; 0 ;}⁻⁶

)

et donc : ^AH ⁼ ^AH ⁼

( )

⁻⁶ ²⁺⁰²^{+ −}

( )

⁶ ² ⁼ ^{2 6}^× ² ⁼^{6 2}^.

La distance du point A à la droite

D

vaut : 6 2 .

3. Soit M le point de la droite

D

de paramètre t∈ . On a :

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2

1 2 1 2 4 2 10

2 2 2 2 10

4 8 4 4 4 4 40 100

9 36 108

9 4 12

3 4 12

AM AM

f t

t t t

t t t t t t

t t

t t t t

=

= − + − + − − + − −

= − + + + +

= − + + + + + + +

= + +

(8)

La fonction f est de la forme f =3 u avec u t: t²+ +4t 12.

Le discriminant du trinôme t²+ +4t 12 est strictement négatif et on a : ^{∀ ∈}^t ^,^{u t}

( )

^>⁰^.

La fonction f est donc dérivable sur et on a : ' 3 ' ' 3

2 2

u u

f

u u

= × = . Comme : ^{u t}^{' :} ²^t^{+ =}⁴ ²

(

^t⁺²

)

, il vient :

( ) ( )

2 2

3 2 2 2

' 3

2 4 12 4 12

t t

f t

t t t t

× + +

= =

+ + + +

Le signe de ^f^'

( )

^t est donc celui de t+2. On en déduit immédiatement que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle

]

^{−∞ −}^; ²

]

et strictement croissante sur l’intervalle

[

^{2 ;}^{+ ∞}

[

. Elle admet donc un minimum pour t= −2. On retrouve ainsi le point obtenu à la question précédente.

Le minimum de la distance AM, où M est le point de la droite

D

de paramètre t, est obtenu pour la valeur −2 du paramètre.

N°72 page 312

1. A partir des coefficients de x, y et z dans l’équation cartésienne du plan

P

^{, on a}

immédiatement :

Le vecteur ⁿ

(

^{2 ; 1 ;}⁻²

)

est un vecteur normal au plan

P

^.

2. Pour montrer que u est un vecteur du plan

P

, il suffit de montrer que u et n sont orthogonaux. Comme nous travaillons dans un repère orthonormé, il vient

immédiatement : ^{u n}^. = × + × + × − = − =^{1 2 0 1 1}

( )

² ^{2 2} ⁰.

Comme le produit scalaire .u n est nul, les vecteurs u et n sont bien orthogonaux.

u est un vecteur du plan

P

^.

3. Nous commençons par chercher un vecteur v (pas nécessairement unitaire) orthogonal à u et à n. Posons ^{v x y z}

(

^; ^;

)

^.

On a alors :

• u v. = ⇔ × + × + × = ⇔ + =0 1 x 0 y 1 z 0 x z 0

• ^{n v}^. = ⇔ × + × + − × = ⇔⁰ ² ^x ¹ ^y

( )

² ^z ⁰ ²^x+ −^y ²^z=⁰

(9)

Ainsi, on a : v orthogonal à u et à n si, et seulement si : 0

2 2 0

x z x y z

⎧ + =

⎨ + − =

⎩ Il vient alors :

( )

0

2 2 0

2 2 0 4 0 4

z x

x z z x z x

x y x

x y z x y y x

⎧ = −

+ = = − = −

⎧ ⇔⎪ ⇔⎧ ⇔⎧

⎨ + − = ⎨⎪ + − − = ⎨ + = ⎨ = −

⎩ ⎩ ⎩ ⎩

D’où : ^{v x}

(

^;⁻^{4 ;}^x ⁻^x

)

où x est un réel quelconque.

En choisissant v≠0, c'est-à-dire x≠0,

(

^{n u v}^{, ,}

)

est une base orthogonale.

Pr exemple, avec x=1 : ^v

(

^{1 ;}⁻^{4 ; 1}⁻

)

^.

Pour obtenir une base orthonormée à partir de la base orthogonale

(

^{n u v}^{, ,}

)

, il suffit de

« diviser » chacun des vecteurs par sa norme :

• ⁿ

(

^{2 ; 1 ;}⁻²

)

a pour norme ⁿ ⁼ ²²^{+ + −}¹²

( )

² ² ⁼ ⁹⁼³^.

• ^u

(

^{1 ; 0 ; 1}

)

a pour norme u = 1²+0²+1² = 2.

• ^v

(

^{1 ;}⁻^{4 ; 1}⁻

)

a pour norme ^v ⁼ ¹²^{+ −}

( ) ( )

⁴ ²^{+ −}¹ ² ⁼ ¹⁸⁼^{3 2}^.

En posant alors : 1 1

U n 3n

= n = , 1 1

V u 2u

= u = et 1 1

W v 3 2v

= v = , on a : 1

U = V = W = .

Par ailleurs, les vecteurs U , V et W sont deux à deux orthogonaux puisque les vecteurs n, u et v le sont.

En définitive,

(

^{U V W}^{, ,}

)

est bien une base orthonormée.

Les vecteurs 2 1 2

; ;

3 3 3

U⎛⎜⎝ − ⎞⎟⎠, 1 1

; 0 ;

2 2

V⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ et 1 4 1

; ;

3 2 3 2 3 2

W⎛⎜⎝ − − ⎞⎟⎠ forment une base orthonormée de l’espace.

N°79 page 313

1. Si les plans

( ) ^P

^et

( ) ^Q

étaient parallèles, ils admettraient des vecteurs normaux

colinéaires. Or le plan

( ) P

admet pour vecteur normal le vecteur ^u

(

^{2 ;}−^{4 ; 3}

)

et le plan

( ) Q

admet pour vecteur normal le vecteur ^v

(

^{1 ;}⁻^{2 ; 3}

)

. Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles. Ils ne sont donc pas colinéaires. Donc :

Les plans

( ) P

^et

( ) Q

ne sont pas parallèles.

(10)

2. D’après la question précédente, les plans

( ) P

^et

( ) Q

sont sécants. Leur intersection est donc une droite, notée

D

^.

(

^; ^;

) ( ) ( )

²^x ⁴₂^y ³₃^z ⁵₂ ⁰₀

M x y z

x y z

− + + =

∈

P

∩

Q

⇔ ⎨⎧⎩ − + − =

On a alors :

( ) ( )

2 4 3 5 0 2 4 3 5

2 3 2 0 2 3 2

2 4 2 2 3 5 2 3 2

2 3 2

0 3 9 3 3

2 3 2 2 9 2 2 7

2 7

3

x y z x y z

x y x y z z

x y z

z z z

x y z x y x y

x y y y z

− + + = − = − −

⎧ ⇔⎧

⎨ − + − = ⎨ − = − +

⎩ ⎩

− − − = − − − − +

⇔ ⎨⎧⎪

− = − +

⎪⎩

= − = =

⎧ ⎧ ⎧

⇔⎨⎩ − = − + ⇔⎨⎩ − = − + ⇔⎨⎩ = −

= −

⎧⎪

⇔⎨ =

⎪ =⎩

La droite

D

, intersection des plans

( ) P

^et

( ) Q

admet pour représentation paramétrique :

2 7

3 x t

y t t

z

⎧ = −

⎪ = ∈

⎨⎪ =

⎩

Remarque : la droite

D

est donc incluse dans le plan d’équation z=3. Elle passe par le point ^P

(

⁻^{7 ; 0 ; 3}

)

et admet comme vecteur directeur : ^u

(

^{2 ; 1 ; 0}

)

^.

3. Le plan

( ) R

, perpendiculaire aux plans

( ) P

^et

( ) Q

, admet pour vecteur normal tout vecteur directeur de la droite d’intersection de

( ) P

^et

( ) Q

, c'est-à-dire de la droite

D

^.

Ainsi, le vecteur ^u

(

^{2 ; 1 ; 0}

)

est un vecteur normal au plan

( ) R

et celui-ci admet pour équation cartésienne : 2x+ + =y d 0.

Les coordonnées de ^A

(

^{2 ;}⁻^{2 ; 0}

)

vérifient cette équation et on a : ^{2 2}^{× + − + =}

( )

² ^d ⁰^,

soit d = −2.

Une équation cartésienne du plan

( ) R

, perpendiculaire aux plans

( ) P

^et

( ) Q

et passant par le point ^A

(

^{2 ;}⁻^{2 ; 0}

)

^{est : 2}^x^{+ − =}^y ² ⁰^.

(11)

N°86 page 316

1. Les vecteurs n et AH étant colinéaires, on a : .n AH = n × AH =AH× n .

Comme n est le vecteur de coordonnées

(

^{a b c}^{; ;}

)

et que le repère est orthonormé, on a :

2 2 2

n = a +b +c . Finalement :

2 2 2

.

n AH =AH× a +b +c

2. Les vecteurs AH et n sont colinéaires. Il existe donc un réel λ tel que AH =λn. On a alors : ^{n AH}^. ⁼ⁿ^.

( )

^λⁿ ⁼^λⁿ² ⁼^λ

(

^a²⁺^b²⁺^c²

)

^.

Posons H x

(

H ^;yH ^;zH

)

. Il vient : AH x

(

_H −x0;y_H −y0;z_H −z0

)

. On a alors :

0 0

H H

x x a x x a

AH n y y b y y b

z z c z z c

λ λ

λ λ λ

λ λ

− = = +

⎧ ⎧

⎪ ⎪

= ⇔⎨ − = ⇔⎨ = +

⎪ − = ⎪ = +

⎩ ⎩

Le point H étant un point du plan

P

, ses coordonnées en vérifient l’équation cartésienne fournie. On a donc : ax_H +by_H +cz_H + =d 0, soit :

(

0

) (

0

) (

0

)

0

a x +aλ +b y +bλ +c z +cλ + =d On a alors :

( ) ( ) ( )

( )

0 0 0

2 2 2

0 0 0

2 2 2

0 0 0

0 0

a x a b y b c z c d

ax by cz d a b c

a b c ax by cz d

λ λ λ

λ λ

+ + + + + + =

⇔ + + + + + + =

⇔ + + = − − − −

Finalement : ^{n AH}^. ⁼^λⁿ² ⁼^λ

(

^a²⁺^b²⁺^c²

)

^{= −}^ax⁰⁻^by⁰⁻^cz⁰⁻^d^.

0 0 0

.

n AH = −ax −by −cz −d

3. A l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes, on a :

2 2 2

0 0 0 0 0 0

.

AH× a +b +c = n AH = −ax −by −cz − =d ax +by +cz +d

(12)

D’où l’égalité cherchée :

0 0 0

2 2 2

ax by cz d AH

a b c

+ + +

= + +

Remarque : si le point considéré (A ici) appartient au plan

P

, ses coordonnées vérifient l’équation 0ax by+ + + =cz d et le numérateur ci-dessus est nul. La distance cherchée est alors bien nulle.

4. Avec ^A

(

⁻^{4 ; 6 ; 1}⁻

)

^et

P

^:^x⁻²^y⁺²^z⁼⁰, il vient, en utilisant la formule précédente :

( ) ( )

²

2 2

4 2 6 2 1 4 12 2 18 18

3 3 6

1 2 2 9

AH − − × + × − − − − −

= = = = =

+ − +

La distance du point ^A

(

⁻^{4 ; 6 ; 1}⁻

)

^{au plan}

P

^:^x⁻²^y⁺²^z⁼⁰ est égale à 6.