Exercice 2 : Projeté orthogonal d’un point sur une droite, dans l’espace

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blottière Mathématiques

Devoir maison n˚3

Pour le mardi 3 janvier.

Exercice 1 : Calcul des moments d’une loi exponentielle

Soitλ∈]0,+∞[. Pour toutn∈N, on introduit la fonction Fn définie par : Fn: [0,+∞[→R; A7→

Z A 0

λxⁿe^−λxdx.

1. Soitn∈N. Justifier queFn est bien définie.

2. Soitn∈N^∗. Montrer que pour toutA∈[0,+∞[:

Fn(A) =−Aⁿe^−λA+n

λF_n−1(A).

3. Démontrer par récurrence que pour toutn∈N: Fn(A) =

Z A 0

λxⁿe^−λxdx →

A→+∞

n!

λⁿ.

Exercice 2 : Projeté orthogonal d’un point sur une droite, dans l’espace

Soit(O;−→ i ,−→

j ,−→

k)un repère de l’espace. Soit le point A(3,5,−2) et soit Dla droite passant par B(2,0,0) et dirigée par le vecteur−→u =−→

i +−→ j −3−→

k .

1. (a) Pour toutt∈R, on noteM_tl’unique point de l’espace vérifiant−−−→

BM_t=t−→u .Exprimer les coordonnées (x(t), y(t), z(t))deM_ten fontion det.

(b) Que peut-on dire de l’ensemble{M_t : t∈R}?

(c) Pour toutt∈R, exprimer la longueurAM_ten fonction det.

(d) Étudier les variations de la fonctionf définie par :

f:R→R; t7→AM_t

et montrer que f admet un minimum, atteint en un unique pointt₀. On précisera la valeur det₀et on calculera les coordonnées du pointM_t0.

2. Démontrer qu’il existe un unique pointA⁰ tel que :







A⁰∈ D et −−→

AA⁰⊥ −→u .

On donnera les coordonnées de A⁰. Le pointA⁰ est appelé projeté orthogonal deA sur la droiteD.

3. (a) Déterminer une équation cartésienne du planP passant parAet orthogonal à la droite D.

(b) Démontrer que l’intersectionP ∩ Dest réduite à un point. On noteraA⁰⁰ce point et on précisera ses coordonnées.

4. Comparer le pointA⁰ aux pointsM_t0 et A⁰⁰ et commenter.

1

Problème : Commutant d’une matrice diagonalisable

Soit la matriceA= 1 2

2 1

.

Partie A : Diagonalisation de la matrice A

1. Déterminer l’ensembleSp(A)desλ∈R, tels que le système linéaire : (Sλ) : (A−λI2)

x1

x₂

= 0

0

d’inconnue x1

x2

∈R²ne soit pas de Cramer.

2. Soient α, βles éléments deSp(A)rangés dans l’ordre croissant. On a doncα < β.

(a) Résoudre le système linéaire(S_α)et déterminer l’unique solution de (S_α)dont la deuxième compo- sante vaut 1, i.e. l’unique solution de (S_α)de la forme

x1

1

, avecx₁∈R.

(b) Résoudre le système linéaire(Sβ)et déterminer l’unique solution de(Sβ)dont la deuxième compo- sante vaut 1.

3. Soit la matrice P =

−1 1 1 1

.Montrer queP est inversible et calculerP⁻¹. 4. Calculer les coefficients de la matriceD=P⁻¹AP.

5. Exprimer Aen fonction deD, P, P⁻¹. Partie B : Commutant de la matrice A

Le commutant Comm(B)d’une matriceB∈ M₂(R)est l’ensemble des matrices deM₂(R)qui commutent avec B, i.e. :

Comm(B) ={M ∈ M₂(R) : BM =M B}.

Dans cette partie, on se propose de déterminer le commutant Comm(A)deA.

Pour touta, b∈R, on noteD(a, b)la matrice définie par : D(a, b) =

a 0 0 b

.

On désigne parD2 l’ensemble des matrices diagonales2×2à coefficients réels. On a donc : D2={D(a, b) : a, b∈R}.

1. Soient d₁, d₂∈Rtels que d₁6=d₂.

(a) SoitM ∈ D₂. Montrer queM commute avecD(d₁, d₂).

(b) SoitM ∈ M2(R). Montrer que si M commute avecD(d1, d2), alorsM ∈ D2.

(c) Déduire des deux questions précédentes le commutant Comm(D(d₁, d₂))de la matriceD(d₁, d₂).

2. En déduire le commutant de la matriceD.

3. SoitM ∈ M2(R)tels que :AM=M A.

(a) Montrer que :

(P⁻¹M P)D=D(P⁻¹M P).

(b) Déduire des questions 2. et 3.(a) qu’il existea, b∈Rtels que : M = 1

2

a+b b−a b−a a+b

.

4. Traduire le résultat précédent en une inclusion entre les ensembles Comm(A)et 1

2

a+b b−a b−a a+b

: a, b∈R

, puis montrer l’inclusion réciproque. Conclure.

^ ^ ^ Bonnes vacances ^ ^ ^

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