Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite ( AB ) alors ÄAM

Première S2 Exercices sur le chapitre 15 : E4. Page n ° 1 2007 2008

E4 Recherche d'ensembles de points.

P 239 n ° 81 a. et b.

a. A et B sont deux points du plan tels que AB = 3.

Je cherche l'ensemble des points M du plan tels que ÄAM. ÄAB = - 6.

ÄAM . ÄAB = - 6 .

Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite ( AB ) alors

ÄAM . ÄAB = ÄAH . ÄAB ⇔ÄAM . ÄAB − ÄAH . ÄAB = 0 ⇔ ( ÄAM + ÄHA ) . ÄAB = 0 ⇔ ÄHM . ÄAB = 0 Donc l'ensemble cherché est la droite perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par H

Pour placer le point H, je fais : AH × AB × cos ( ÄAH , ÄAB ) = - 6 ⇔ AH × cos ( ÄAH , ÄAB ) = - 2 Autrement dit ÄAH et ÄAB sont de sens contraires et AH = 2 cad ÄAH = - 2

3 ÄAB .

b. A et B sont deux points du plan tels que AB = 3.

Je cherche l'ensemble des points M du plan tels que ÄBM. ÄAB = 12 Soit H le projeté orthogonal de M sur la droite ( AB ) alors

ÄBM . ÄAB = ÄBH . ÄAB ⇔ÄBM . ÄAB − ÄBH . ÄAB = 0 ⇔ ( ÄBM + ÄHB ) . ÄAB = 0 ⇔ ÄHM . ÄAB = 0 Donc l'ensemble cherché est la droite perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par H

Pour placer le point H, je fais : ÄBH . ÄAB = 12

Autrement dit ÄBH et ÄAB sont de même sens et BH = 4 cad ÄBH = 4 3ÄAB .

Première S2 Exercices sur le chapitre 15 : E4. Page n ° 2 2007 2008

Exercice A et B sont deux points tels que AB = 4 1 ) Soit I le milieu du segment [ AB ].

MA² − MB² = ( ÄMI + ÄIA ) ² − ( ÄMI + ÄIB )² = ( ÄMI + ÄIA ) ² − ( ÄMI − ÄIA ) ²

MA² − MB² = MI² + IA² + 2 ÄMI . ÄIA − MI² − IA² + 2ÄMI . ÄIA = 4 ÄMI . ÄIA = 2 ÄMI . ÄBA = 2 ÄIM . ÄAB . MA² − MB² = 32 ⇔ ÄIM . ÄAB = 16

Soit H le projeté de M sur la droite ( AB ).

Alors ÄIH . ÄAB = 16 donc IH × AB = 16 ⇔ IH = 4 .

Donc le point H est le point de la droite ( AB ) tel que ÄIH = ÄAB .

Or ÄIM . ÄAB = 16 ⇔ ( ÄIH + ÄHM ) . ÄAB = 16 ⇔ ÄIH . ÄAB + ÄHM . ÄAB = 16 ⇔ ÄHM . ÄAB = 0.

Donc l'ensemble des points M recherché est la droite perpendiculaire à la droite ( AB ) et passant par le point H.

2 ) Soit I le milieu du segment [ AB ].

ÄAM. ÄBM = ( ÄAI + ÄIM ) . ( ÄBI + ÄIM ) = ( ÄAI + ÄIM ) . ( - ÄAI + ÄIM ) ÄAM. ÄBM = - AI² + ÄAI . ÄIM − ÄIM . ÄAI + IM² = IM² − ( BA

2 )² + ÄIM . ( ÄAI − ÄAI ) = IM² − 1 4 AB².

ÄAM. ÄBM = 32 ⇔ IM² − 1

4 AB² = 32 ⇔ IM² = 32 + 1

4 × 16 = 32 + 4 = 36 ⇔ IM = 6.

L'ensemble recherché est donc le cercle de centre I et de rayon 6.

3 ) Soit I le milieu du segment [ AB ].

D'après le théorème de la médiane, on a : MA² + MB² = 2 MI² + 1 2 AB² Donc MA² + MB² = 32 ⇔ 2 MI² + 1

2 AB² = 32 ⇔ 2 × MI² + 1

2 × 4² = 32 ⇔ MI² = 0,5 × ( 32 − 8 ) = 12.

L'ensemble des points M recherché est donc le cercle de centre I et de rayon 12.