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CCP Maths 2 MP 2011 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Didier Lesesvre (ENS Cachan) ; il a été relu par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).
Ce sujet est composé d’un exercice et d’un problème, tous deux d’algèbre.
L’exercice porte sur l’étude du commutant d’une matrice particulière. Il est l’oc- casion de revoir la méthode de trigonalisation d’une matrice et d’appliquer quelques résultats de la théorie de la réduction des endomorphismes.
Le problème, quant à lui, mène à la preuve de plusieurs résultats puissants et utiles d’algèbre linéaire (décomposition de Choleski, réduction simultanée) et les met en œuvre pour obtenir des inégalités très générales portant sur les traces et les déterminants de certaines classes de matrices. Il est constitué de trois parties, qui peuvent être traitées sans encombre de manière indépendante en admettant les résultats des questions précédentes, qui sont tous clairement énoncés dans le sujet.
Plus précisément :
• La première partie est une introduction regroupant plusieurs résultats sur les matrices symétriques, qui sont utiles dans les deux parties suivantes. On y ren- contre en particulier l’idée qui consiste, pour toute matriceM, à considérertMM qui est symétrique positive. Les résultats sur les matrices positives induisent, par ce procédé, des propriétés valables pour toutes les matrices.
• La deuxième partie est dédiée au théorème de réduction simultanée et à son uti- lisation pour obtenir des inégalités entre déterminants de matrices symétriques.
• La dernière partie porte sur la décomposition de Choleski. Il est facile de prouver que pour toute matrice T inversible,tTT est une matrice symétrique définie positive. Le théorème de Choleski énonce une réciproque : toute matrice symé- trique définie positive peut s’écrire sous cette forme. Le sujet propose une preuve de l’unicité de cette décomposition, sa mise en application sur un exemple concret de matrice, l’écriture d’un algorithme calculant cette décomposition pour des matrices de taille 3 et une preuve d’une inégalité d’Hadamard.
Ce sujet aborde des thèmes intéressants et profonds, qui aboutissent à des résultats importants. Il reste cependant très abordable car les raisonnements à suivre sont décomposés en détail par l’énoncé. Il demande toutefois une bonne maîtrise des tech- niques de réduction et une bonne compréhension du cours sur les formes quadratiques.
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Indications
Exercice
1 Vérifier simplement le caractère non vide et la stabilité par combinaison linéaire.
Les plus malins peuvent remarquer queC(A)est le noyau d’un endomorphisme.
2 On cherche à prouver queAest semblable à une matrice triangulaire supérieure, c’est-à-dire que l’on cherche à la trigonaliser. Appliquer les méthodes habituelles.
3 Une matriceMqui commute avecTstabilise les sous-espaces propres de T.
4 Il s’agit de l’application de changement de base. Vérifier à la main qu’elle est linéaire et bijective. Deux espaces isomorphes ont même dimension.
5.a S’il existe un polynôme annulateur de degré inférieur ou égal à 2, alors il est de degré 1 ou 2. Prouver que dans chacun des cas c’est impossible.
5.b L’une des inclusions est évidente. On conclut par un argument de dimension.
5.c Déterminer la dimension de l’espace des polynômes enAen fonction du degré de son polynôme minimal.
Problème
1 Une matrice symétrique est diagonalisable en base orthonormale. Écrire la défi- nition de la positivité à une famille orthogonale de vecteurs propres.
2 Se servir de l’inégalité arithmético-géométrique rappelée en début de problème.
3.a Prouver la symétrie et la positivité séparément, en revenant aux définitions.
3.b Appliquer à la matricetMMle résultat obtenu à la question 2.
4.a Écrire le produit scalaire canonique dans la baseB′.
4.b La matriceCest symétrique réelle dansB′: appliquer le théorème spectral.
4.c Conclure à l’aide de ce qui précède :P =t(RQ)−1.
4.d Trouver un changement de coordonnées simplifiant l’expression de la forme quadratique associée àB.
5.a Appliquer la réduction simultanée àAetB, puis réécriredet(A + B)en gardant à l’esprit que le déterminant d’un produit est le produit des déterminants.
5.b Prouver que la somme est symétrique positive en revenant aux définitions.
Si l’on n’est pas dans le cas précédent, c’est queAetBne sont pas inversibles : elles ont donc un déterminant nul.
6.a Développer à l’aide de la réduction simultanée.
6.b Se servir de la concavité du logarithme népérien.
6.c Conjuguer les deux questions qui précèdent pour obtenir le résultat.
7.a SiAest symétrique positive, que peut-on dire deAn = A +1 nIn?
7.b Prendre deux suites de matrices symétriques définies positives convergeant res- pectivement vers A et B, et leur appliquer l’inégalité donnée au début de la question 7.
8.a Prouver que T1T2−1
est triangulaire supérieure et orthogonale, ainsi que sa transposée. En déduire qu’elle est diagonale. Conclure à l’aide de l’orthogonalité.
8.b Revenir à la définition du produit matriciel et écrire explicitement l’équation à résoudre.
9 Appliquer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
10.a Appliquer la décomposition de Choleski.
10.b Utiliser le résultat précédent avec la matrice symétrique définie positivetMM.
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Exercice
Commutant d’une matrice
1 Le commutant C(A) de A est l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
Prouvons qu’il s’agit d’un sous-espace vectoriel deM3(R). Pour commencer, il est non vide car il contient la matrice nulle. On établit « manuellement » la stabilité par combinaison linéaire en vérifiant que si deux matrices M et N commutent avec A, il en va de même de leurs combinaisons linéaires : siλest un réel, alors
(λM + N)A =λMA + NA
=λAM + AN (MA = AM, NA=AN) (λM + N)A = A(λM + N)
ce qui signifie queλM + Nest également dansC(A).
C(A)est un sous-espace vectoriel deM3(R).
On peut remarquer, plus simplement, que le commutant de A est le noyau de l’application linéaireM7→AM−MA, c’est donc un sous-espace vectoriel.
2 Il s’agit du problème de trigonalisation d’une matrice. Pour ce faire, on commence par calculer le polynôme caractéristique deApour en déduire ses valeurs propres :
χA(X) = det(A−X I3)
=
1−X 4 −2 0 6−X −3
−1 4 −X
=
1−X 4 3−X 0 6−X 3−X
−1 4 3−X
(C3←C1+ C2+ C3)
= (3−X)
1−X 4 1 0 6−X 1
−1 4 1
(multilinéarité)
= (3−X)
2−X 0 0 0 6−X 1
−1 4 1
(L1←L1−L3)
= (3−X)(2−X)
1 0 0
0 6−X 1
−1 4 1
(multilinéarité)
= (3−X)(2−X)
6−X 1
4 1
(développementL1) χA(X) = (3−X)(2−X)2
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La matrice A admet donc 2 et 3 comme valeurs propres. La valeur propre 3 est de multiplicité 1 dans le polynôme caractéristique, donc le sous-espace propre associé à la valeur propre 3 est de dimension 1. Quant à la valeur propre 2, elle peut être associée à un sous-espace propre de dimension 1 ou 2.
Recherchons des bases de vecteurs propres pour les deux espaces propres en résolvant les systèmes d’équations associés. Commençons par trouver un vecteur de la droite propre associée à 3 :
AX = 3X ⇐⇒
x+ 4y−2z= 3x 6y−3z= 3y
−x+ 4y = 3z
avecX =t(x y z)
⇐⇒
4y−2z = 2x 3y−3z = 0 4y−3z =x
⇐⇒
z =x y =z
−x+ 4y = 3z
L1←L1−L3
AX = 3X ⇐⇒ x=y=z
La droite propre recherchée est donc celle des vecteurs ayant les trois mêmes coor- données. En particulier, le vecteur
e1= t 1 1 1
est une base de la droite propre correspondant à la valeur propre 3. Raisonnons de même pour la valeur propre 2 :
AX = 2X ⇐⇒
4y−2z =x 4y−3z = 0 4y−2z =x
⇐⇒
x= 4y−2z 4y = 3z
−x+ 4y = 2z AX = 2X ⇐⇒
4y= 3z x =z
On obtient un espace propre de dimension 1 associé à la valeur propre 2, engendré par e2= t 4 3 4
Complétons ce système de deux vecteurs en une base en choisissant un troisième vecteur. Notons, en toute généralité
e3= t x y z
Pour que la matriceA soit semblable à la matriceT, on veut queAe3= 2e3+e2: Ae3= 2e3+e2 ⇐⇒
x+ 4y−2z = 2x+ 4 6y−3z = 2y+ 3
−x+ 4y = 2z+ 4
⇐⇒
x= 4y−2z−4 4y = 3z+ 3 Ae3= 2e3+e2 ⇐⇒
x=z−1 4y = 3(z+ 1)
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