Pseudo-réduction simultanée
2013 – 2014
Proposition.
SoientM ∈Sn++(R), N∈Sn(R).
Alors il existeC∈GLn(R)telle que :
tCM C=In ettCN C=D oùD est une matrice diagonale réelle.
Démonstration. M ∈S++n (R) donc Φ : (X, Y)7→tXM Y est un produit scalaire deRn, donc il existe une base orthonormée pour Φ.
i.e.il existe P∈GLn(R) telle que :
tP M P =In
Or tP N P ∈ Sn(R) donc, par le théorème spectral, il existe Q ∈ On(R) telle que :
tQtP N P Q=D
avecD une matrice diagonale réelle.
En posantC=P Q, on obtient ce qu’on voulait.
Autre rédaction
Φ : (X, Y)7→tXM Y est un produit scalaire et Ψ : (X, Y)7→tXN Y est une forme bilinéaire surRn. Il existe donc un unique endomorphismeusurRn telle que pour tout X, Y ∈ Rn,Ψ(X, Y) = Φ(X, u(Y)). De plus, Ψ est symétrique doncuest auto-adjoint pour Φ. Il existe donc une base (e1, . . . , en) orthonormale pour Φ de vecteurs propres deuassociés à des valeurs propresλ1, . . . , λn.
Si on note P la matrice de passage de la base canonique à (e1, . . . , en) etU l’endomorphisme deudans la base canonique, on a d’une part tP M P =In et d’autre part, pourX, Y ∈Rn,
tXN Y = tXM U Y = tXM P DP−1Y, d’oùN =M P DP−1= tP−1DP−1 par la relation précédente.
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