ALGÈBRE LINÉAIRE
Ouedraogo Marie
Avant-propos
L’Université Virtuelle Africaine (UVA) est fière de participer à accès à l’éducation dans les pays africains en produisant du matériel d’apprentissage de qualité. Nous sommes également fiers de contribuer à la connaissance globale, pour nos ressources éducatives sont principalement accessibles de l’extérieur du continent africain.
Ce module a été développé dans le cadre d’un programme de diplôme et diplôme en
informatique appliquée, en collaboration avec 18 institutions partenaires dans 16 pays africains.
Un total de 156 modules ont été développés ou traduits pour assurer la disponibilité en anglais, français et portugais. Ces modules sont également disponibles en tant que ressources éducatives ouvertes (OER) à oer.avu.org.
Au nom de l’Université Virtuelle Africaine et notre patron, nos institutions partenaires, la Banque africaine de développement, je vous invite à utiliser ce module dans votre
établissement, pour leur propre éducation, partager aussi largement que possible et participer activement aux communautés AVU de pratique d’intérêt. Nous nous engageons à être à l’avant-garde du développement et de partage ouvert de ressources pédagogiques.
L’Université Virtuelle Africaine (UVA) est une organisation intergouvernementale
panafricaine mis en place par lettre recommandée avec un mandat d’augmenter l’accès à l’enseignement supérieur et de formation de qualité grâce à l’utilisation novatrice des technologies de communication de l’information. Une charte instituant la UVA Organisation intergouvernementale, signée à ce jour par dix-neuf (19) Les gouvernements africains - Kenya, Sénégal, Mauritanie, Mali, Côte d’Ivoire, Tanzanie, Mozambique, République démocratique du Congo, Bénin, Ghana, République de Guinée, le Burkina Faso, le Niger, le Soudan du Sud, le Soudan, la Gambie, la Guinée-Bissau, l’Ethiopie et le Cap-Vert.
Les institutions suivantes ont participé au programme informatique appliquée: (1) Université d’Abomey Calavi au Bénin; (2) University of Ougagadougou au Burkina Faso; (3) Université Lumière Bujumbura Burundi; (4) Université de Douala au Cameroun; (5) Université de
Nouakchott en Mauritanie; (6) Université Gaston Berger Sénégal; (7) Université des Sciences, Techniques et Technologies de Bamako au Mali (8) Institut de la gestion et de l’administration
publique du Ghana; (9) Université des sciences et de la technologie Kwame Nkrumah au Ghana; (10) Université Kenyatta au Kenya; (11) Université Egerton au Kenya; (12) Université d’Addis-Abeba en Ethiopie (13) Université du Rwanda; (14) University of Salaam en Tanzanie Dar; (15) Université Abdou Moumouni Niamey Niger; (16) Université Cheikh Anta Diop au Sénégal; (17) Université pédagogique au Mozambique; E (18) L’Université de la Gambie en Gambie.
Auteur
Marie Francoise
Pair Réviseur
Dibi Diarra
UVA – Coordination Académique
Dr. Marilena Cabral
Coordinateur global Sciences Informatiques Apliquées
Prof Tim Mwololo Waema
Coordinateur du module
Florence Tushabe
Concepteurs pédagogiques
Elizabeth Mbasu Benta Ochola Diana Tuel
Equipe Média
Sidney McGregor Michal Abigael Koyier
Barry Savala Mercy Tabi Ojwang
Edwin Kiprono Josiah Mutsogu
Kelvin Muriithi Kefa Murimi
Droits d’auteur
Ce document est publié dans les conditions de la Creative Commons Http://fr.wikipedia.org/wiki/Creative_Commons
Attribution http://creativecommons.org/licenses/by/2.5/
Le gabarit est copyright African Virtual University sous licence Creative Commons Attribution- ShareAlike 4.0 International License. CC-BY, SA
Supporté par
Projet Multinational II de l’UVA financé par la Banque africaine de développement.
Avant-propos 2
Crédits de Production 3
Droits d’auteur 4
Supporté par 4
Aperçu du cours 10
Bienvenue au cours algèbre linéaire 10
Prérequis 10
Matériaux 10
Objectifs du cours 10
Unités 11
Évaluation 11
Unité 1. Equation linéaire et matrices 12
Introduction à l’unité 12Termes-clés 12
Objectifs de l’unité 13
Activités d’apprentissage 13
Activité 1 1 –Matrices et opérations 13
Introduction 13
Détails de l’activité 13
Propriétés de l’addition de matrices 16
III. Matrices symétriques et antisymétriques 20
Conclusion 23
Evaluation 23
II. Matrice sous forme échelonnée et rang d’une matrice 28
Propriétés du rang d’une matrice 30
III. Systèmes d’équations linéaires 31
IV. Système d’équations linéaires homogène 41
Conclusion 43
Evaluation 43
Activité 1 3 –Déterminant et applications Matrice régulière 46
Introduction 46
Détails de l’activité 46
II. Déterminant d’une une matrice carrée 48
III. Calcul pratique du déterminant 49
III. Matrice régulière – inverse d’une matrice carrée 54 Procédé de détermination de l’inverse d’une matrice régulière 57 Méthode pour déterminer l’inverse d’une matrice régulière A 58
IV. Système de Cramer 60
Conclusion 61
Evaluation 62
Activité 1 4 – le logiciel SCILAB: application à l’algèbre linéaire 64
Introduction 64
Détails de l’activité 65
Matrice symétrique et anti-symétrique. 69
Conclusion 70
Evaluation de l’unité 70
Critères d’évaluation 70
Résumé de l’unité 70 Evaluation 71 Lectures et autres ressources 72
Activité 1.1 –Espaces vectoriels réels: définition et propriétés;
base et dimension 74
Introduction 74
Détails de l’activité 75
Conclusion 94
Evaluation 94
Activité 1.2 –Sous-espaces vectoriels: définition et propriétés; opérations 95
Introduction 95
Détails de l’activité 96
Conclusion 113
Evaluation 113
Activité 1 3 –Espace vectoriel réel avec le produit intérieur 114
Introduction. 114
Détails de l’activité 115
Espace vectoriel réel et produit intérieur 120
Conclusion 144
Evaluation 145
Résumé de l’unité 148 Evaluation de l’Unité . . . 149
Instructions 149
Critère d’évaluation 149
Evaluation 149
Lectures et autres ressources 150
Activité 1 1 –Application linéaire: noyau et image . . . 152
Détails de l’activité 152 Conclusion 165 Evaluation 165 Activité 1 2 –Matrice d’une application linéaire Opérations sur les applications linéaires 166
Introduction 166 Détails de l’activité 167 Conclusion. 184 Evaluation 185 Activité 1 3 –Adjointe d’une application linéaire - Endomorphisme adjoint Endomorphisme orthogonal 186
Introduction 186 Détails de l’activité 187 Conclusion 198 Evaluation 198 Evaluation de l’Unité 199
Evaluation 199 Résumé de l’unité 199
Lectures et autres ressources 200
Unité 4. Diagonalisation d’endomorphismes et de matrices. Formes quadratiques 201
Introduction à Unité 201Objectifs de l’unité 201
Termes-clés 202
Activités d’apprentissage 202
Activité 1 1 - Vecteur propre, associé à une valeur propre, un endomorphisme 202
Introduction 213
Détails de l’activité 213
Conclusion 221
Evaluation 222
Activité 1 3 - Formes bilinéaires 222
Introduction 222
Détails de l’activité 222
Conclusion 227
Evaluation 227
Résumé de l’unité 228 Evaluation de l’Unité . . . 228
Instructions 228
Critères d’évaluation 228
Evaluation 229 Lectures et autres ressources 230
Evaluation du cours 230
Instructions 230
Critère d’évaluation 230
Evaluation 230
Références du Cours 233
Aperçu du cours
Bienvenue au cours algèbre linéaire
Ce cours d’algèbre linéaire est une base pour introduire les outils indispensables pour la compréhension de la formalisation mathématique nécessaire pour introduction aux notions de d’espaces vectoriels et au calcul matriciel.
Les espaces vectoriels sont des ensembles particuliers munis de deux lois de composition qui les munissent d’outils de calculs importants, basés sur les mêmes principes de calcul sur R ou Rn
Prérequis
• L’ensemble des nombres réels ;
• Fonctions numériques réelles
Matériaux
Les matériaux nécessaires pour compléter ce cours comprennent:
• Jean-Marie Monier, Algèbre 1 Cours et 500 exercices corrigés 1re année MP, PSI, PC, PT Tome 5 ;
• Jean-Marie Monier, Algèbre 2 Cours et 500 exercices corrigés 2eme année MP, PSI, PC, PT Tome 6;
• J.-M. Arnaudiès, H. Fraysse : Cours de Mathématiques-1 Algèbre, Éditions Dunod
Objectifs du cours
À la fin de ce cours, l’étudiant devrait être en mesure de :
• Faire des opérations sur les matrices et réduire une matrice sous forme échelonnée.
• Calculer le déterminant d’une matrice carrée
• Résoudre un système d’équations linéaires
• Faires des opérations sur les espaces et sous-espaces vectoriels
• Déterminer une base et la dimension d’un espace vectoriel
• Faire des opérations sur les applications linéaires
Unités
Unité 1 : Equations linéaires et matrices
Cette unité présente le calcul matriciel et la résolution des systèmes d’équations linéaires
Unité 2: Espaces et sous-espaces vectoriels
Dans cette unité, on introduit le concept d’espace vectoriel. On explore aussi les notions de bases e dimension d’un espace vectoriel en dimension finie.
Unité 3: Applications linéaires
Cette unité est basée sur l’étude des applications linéaires et notamment les notions de noyau et image d’une application linéaire
Unité 4: Réduction des endomorphismes et des matrices
Cette unité développe la réduction des endomorphismes et des matrices carrées basée sur l’étude des valeurs et vecteurs propres.
Évaluation
Les évaluations formatives (vérification de progrès) sont incluses dans chaque unité.
Les évaluations sommatives (tests et travaux finaux) sont fournies à la fin de chaque module et traitent des connaissances et compétences du module.
Les évaluations sommatives sont gérées à la discrétion de l’établissement qui offre le cours. Le plan d’évaluation proposé est le suivant
Unité 1. Equation linéaire et matrices
Introduction à l’unité
Cette unité présente la notion de matrices et quelques opérations matricielles, cruciales pour la mise en œuvre du contenu algèbre linéaire.
Elle présente aussi les méthodes de résolution de systèmes d’équations linéaires par matrice échelonnée.
La notion de déterminant d’une matrice carrée et certaines de ses applications est présentée.
Termes-clés
Matrice réelle: tableau rectangulaire composé de nombres réels.
Matrice échelonnée (resp. matrice échelonnée réduite): matrice dont chaque colonne contient un seul élément (pivot) non nul (resp. le pivot est égal à 1).
Rang d’une matrice: nombre de lignes (ou de colonnes) indépendantes dans la matrice.
Matrice carrée: matrice représentée par un tableau carrée.
Déterminant d’une matrice carrée: nombre réel qui caractérise une matrice carrée
Inverse de matrice carrée: matrice symétrique par la multiplication.
Système de m équations linéaires à n inconnues: Système dont chaque équation est une combinaison linéaire nulle de n inconnues.
Résolution d’un système d’équations. Résoudre un système de m équations linéaires, à n inconnues, c’est déterminer l’ensemble de ses solutions ou de
conclure qu’il est impossible.
Objectifs de l’unité
À la fin de cette unité, vous devez être capable de:
• Faire des opérations sur les matrices;
• Réduire une matrice de forme échelonnée;
• Calculer l’inverse d’une matrice carrée inversible;
• Calculer le déterminant d’une matrice carrée;
• Résoudre des systèmes d’équations linéaires par diverses méthodes.
Activités d’apprentissage
Activité 1.1 –Matrices et opérations
Introduction
Cette activité introduit la notion de matrice et les opérations sur les matrices. On présente aussi certains types de matrices particulières,
Détails de l’activité I. Définitions et exemples
1. Définition (Matrice réelle). Soient m,n∈N . Une matrice réelle A à m
lignes et n
colonnes est un tableau rectangulaire composé de m lignes et n
colonnes, disposé comme suit:
.Pour localiser ou faire référence à une entrée, on utilise deux indices, dans cet ordre: l’indice de ligne et l’indice de la colonne. Un élément qui est à l’intersection de la ligne i
et de la colonne j indique l’entrée (i,j)
.En abrégé, on écrit la matrice A sous la forme A=〖[a_ij]〗_(m×n) .L’ensemble des matrices réelles de type m×n
est représenté par R^(m×n)
.Exemple. A matrice A=〖[a_ij]〗_(4×4) telle que, pour tous i,j∈{1,2,3,4}
, on a
a_ij={1 si |i-j|>1 -1 si |i-j|≤1 , est de la forme:
2. Quelques matrices particulières
Matrice carrée: matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. Si le nombre de lignes est n, on l’appelle dans ce cas, matrice carrée d’ordre n.
Matrice ligne: c’est une matrice qui a une seule ligne.
Matrice colonne: c’est une matrice qui a une seule colonne.
Matrice nulle: c’est une matrice dont tous les éléments sont nuls. La matrice nulle de type m×n est notée 0_(m×n)
, et si m=n , on la note 0_n
.Classification de matrices carrées
. Ils forment la diagonale principale de la matrice A. La somme des éléments diagonaux est appelée la trace de A. On a donc tr(A)=a_11,+a_22+a_33+⋯+a_nn
.La matrice carrée A=〖[a_ij]〗_(n×n)
est dite triangulaire supérieure si tous les éléments situés en dessous de la diagonale sont nuls, i.e., pour tout i∈{1,2,3,…,n}
et i>j , alors a_ij=0
.La matrice carrée A=〖[a_ij]〗_(n×n)
est dite triangulaire inférieure si tous les éléments situés au dessus de la diagonale sont nuls, i.e., pour tout i∈{1,2,3,…,n}
et i>j , alors a_ij
=0.
La matrice carrée A=〖[a_ij]〗_(n×n)
est dite diagonale si tous les éléments situés hors de la diagonale sont nuls i.e. pour tout i∈{1,2,3,…,n}
, pour tout j∈{1,2,3,…,n}
, i≠j
, alors a_ij=0
.La matrice carrée A=〖[a_ij]〗_(n×n)
est dite scalaire si elle est diagonale et s’il existe un scalaire c tel que, a_ii=c
, pour tout i∈{1,2,3,…,n}
.La matrice carrée A=〖[a_ij]〗_(n×n)
est dite identité si elle est scalaire et tous les éléments diagonaux sont égaux à 1 . On la note alors I_n
si a_ij=b_ij
, pour tout i∈{1,2,3,…,m}
, et tout j∈{1,2,3,…,n}
.2. Addition de matrices
Définition (Somme de matrices). On ne peut additionner deux matrices que si elles sont de même type. Considérons les matrices A=〖[a_ij]〗_(m×n) ,B=〖[b_ij]〗_(m×n) ∈R^(m×n) , on définit la somme A+B=〖[a_ij+b_ij]〗_(m×n) ∈R^(m×n)
Propriétés de l’addition de matrices Soient A,B,C∈R^(m×n)
. Alors on a:
Comutativité: A+B=B+A
;
Associativité: (A+B)+C=A+(B+C)
;
L’élément neutre de l’addition de matrices dans R^(m×n) est la matrice nulle 0_(m×n)
, i.e. pour toute matrice A∈R^(m×n) , A+0_(m×n)=0_(m×n)+A=A
;
Pour toute matrice A=〖[a_ij]〗_(m×n) ∈R^(m×n)
, il existe une et une seule matrice, -A=〖[-a_ij]〗_(m×n)∈R^(m×n) , telle que A+(-A)=0_(m×n)
3. Produit d’une matrice par un scalaire Définition (Produit d’une matrice par un scalaire).
Soit A=〖[λa_ij]〗_(m×n)∈R^(m×n) , et un salaire réel λ
Soient A,B∈R^(m×n) , et λ,β∈R
. Alors, on a:
λ(A+B)=λA+λB
; (λ+β)A=λA+βA
; (λβ)A=λ(βA)
; 1A=A
;
λA=0_(m×n) ⟺ λ=0 ou A=0_(m×n) .
Exemple. Considérons les matrices A=[1 2 -1 0 -3 4 ] et B=[-1 5 7 -1 3 -8 ]
.On a
-3A+2B-A=[-3 -6 3 0 9 -12 ]+[-2 10 14 -2 6 -16 ]+[-1 -2 1 0 3 -4 ]=[-6 2 18 -2 18 -32 ] 4. Produit de matrices
Définition (produit scalaire). Soit L=[l_1 l_2 … l_n ] et C=[c_1 c_2 ⋮ c_n ]
deux matrices. Le produit scalaire de la matrice-ligne L , par la matrice colonne C
, est le scalaire
l_1 c_1+l_2 c_2+l_3 c_3+⋯+l_n c_n=∑_(i=1)^n l_i c_i . Exemple. Le produit scalaire des matrices L=[-1 3 5 0 ] et C=[-2 2 3 1 ]
, est possible si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B
. On dit alors que les matrices A et B sont compatibles pour le produit AB . Considérons les matrices A=〖[a_ij]〗_(m×n)
et B=〖[b_ij]〗_(n×p)
, compatibles pour le produit AB . Alors, la matrice AB=〖[p_ij]〗_(m×p)
est telle que, pour tout i∈{1,2,3,…,m}
, et pour tout j∈{1,2,3,…,p}
, le terme p_ij
est égal au produit scalaire de la ligne i par la colonne j
, ou encore,
p_ij=a_i1 b_1j+a_i2 b_2j+a_i3 b_3j+⋯+a_in b_nj . Exemple. Déterminer le produit AB
, de A=[-1 2 -2 0 1 3 ]
et B=[1 2 -2 0 3 1 -1 2 -2 1 -2 3 ]
Remarque: Le produit de matrices n’est pas commutatif. Le fait que le produit AB existe n’implique pas que le produit BA
existe.
, et peuvent être égaux ou non..
Si AB=BA
on dit que les matrices A et B
commutent entre elles.
Exemple. Déterminer les matrices qui commutent avec la matrice A=[1 1 0 0 ] Si B
commute avec A , alors B
est une matrice carrée d’ordre 2. Soit B=[x y z w ]
AB=BA⟺[x+z y+w 0 0 ]=[x x z z ]⇔{x+z=x y+w=x z=0 ⟺{x∈R y=x-w w∈R z=0 Par conséquent, B=[x x-w 0 w ]
, x,w∈R
Propriétés du produit de matrices Soit λ
un scalaire, et soient A , B
et C
des matrices compatibles pour le produit. Soit I une matrice identité compatible avec les opérations:
IA=A et BI=B
;
Associativité: A(BC)=(AB)C
;
Définition (Puissance d’une matrice carrée d’ordre n).
Soit A
une matrice carrée d’ordre n . Alors
{A^0=I_n A^(m+1)=A^m A,∀m∈N_0 Exemple. Soit A=[1 0 -1 2 ]
A^3=A^2 A=[1 0 -3 4 ][1 0 -1 2 ]=[1 0 -7 8 ]
Définition (Matrice carrée comme racine d’un polynôme).
Considérons le polynôme f(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_1 x+a_0 , de coefficients a_i
, i=▁(0,n)
, et d’inconnue x . Soit A
une matrice carrée d’ordre p∈N . Alors,
f(A)=a_n A^n+a_(n-1) A^(n-1)+⋯+a_1 A+a_0 I_p . On dit que la matrice carrée A
est racine du polynôme f(x) si f(A)=0_p
Exemple. La matrice carrée A=[1 7 0 4 ]
est racine du racine du polynôme f(x)=x^2-5x+4 . En effet,
f(A)=A^2-5A+4I_2=[1 35 0 16 ]+[-5 -35 0 20 ]+[4 0 0 4 ]=[0 0 0 0 ]=0_2 .
III. Matrices symétriques et antisymétriques
1. Définition (Transposée d’une matrice). Considérons la matrice A=〖[a_ij]〗_(m×n) . La matrice transposée de A
dont l’entrée (i,j) esta_ji
, i.e., on permute les lignes et les colonnes de A Exemple. Si B=[-3 -1 1 2 1 -5 ]
, alors B^t=[-3 2 -1 1 1 -5 ] Propriétés de la transposée Soient A
et B
des matrices, compatibles avec les opérations soit λ un scalaire réel. On a:
〖(A^t)〗^t=A
;
〖(λA)〗^t=λA^t;
〖(A+B)〗^t=A^t+B^t
;
〖(AB)〗^t=B^t A^t
2. Définition (Matrices symétriques et antisymétriques). Soit A=〖[a_ij]〗_(n×n) une matrice carrée d’ordre n∈N
. On dit que:
La matrice A
est symétrique si A=A^t
, ou encore pour tout i,j∈{1,2,3,…,n}
, on a a_ij=a_ji La matrice A
Remarque. De la définition précédente, on déduit que:
Une matrice carrée est symétrique si les éléments de la diagonale principale sont arbitraires et les éléments opposés par rapport à la diagonale principale (entrées (i,j)
et (j,i)
) sont égaux.
Une matrice carrée est antisymétrique si les éléments de la diagonale principale sont nuls et les éléments opposés par rapport à la diagonale principale (entrées (i,j)
et (j,i)
) sont opposés Exemple. La matrice
est symétrique et la matrice
antisymétrique.
Théorème. Soient A et B
deux matrices symétriques de même ordre , et λ un scalaire. Alors:
A^t
est une matrice symétrique;
A+B et A-B
Conclusion
Une matrice réelle est un tableau composé de nombres qui sont disposés en lignes et en colonnes. Nous pouvons classifier les matrices en deux grands groupes: les matrices rectangulaires et les matrices carrées. Dans le groupe des matrices carrées, il y a des sous- groupes, comme dans les matrices triangulaires, diagonales, et scalaires.
On peut effectuer des opérations sur les matrices: addition de matrices de même type, produit d’une matrice par un scalaire, produit de deux matrices dont le nombre de colonnes de la première est égale au nombre de lignes de la seconde et faire la transposée d’une matrice.
Cette dernière opération donne la définition de matrices symétriques et antisymétriques.
Evaluation
Exercice 1. Soient les matrices suivantes
Exercice 2. Considérons la matrice A=[-2 -1 1 3 1 -2 ]
Déterminer les matrices AA^t et A^t A
, et vérifier que ces matrices sont symétriques.
Soit une matrice A∈R^(m×n) . Prouver que les matrices AA^t et A^t A
Soit la matrice carrée A
. Prouver que la matrice A+A^t est symétrique et la matrice A-A^t
est antisymétrique..
Déterminer une matrice symétrique B et une matrice antisymétrique C , telles que B+C=A
Exercice 4. Vérifier que la matrice carrée B=[-5 6 -9 10 ]
est une racine du polynôme f(x)=x^2-5x+4
Exercice 5. Déterminer la matrice A
, qui vérifie l’expression:
2A-〖[1 0 -2 4 7 3 ]〗^t=[2 0 -3 4 0 8 ] .
Exercice 6. Considérons les matrices A=[a_ij], i∈{1,2,3,4},j∈ {1,2,3}
et a_ij=1/(i+j-1) , B=[b_ij],i,j∈{1,2,3}
et b_ij=i-j+1 , C=[c_ij],i,j∈{1,2,3}
et c_ij=1/(i+j)
Vérifier que les opérations suivantes sont bien définies et déterminer leurs valeurs.:
Exercice 7. Soit la matrice A définie par:
1) Calculer A2, A3. En déduire An.
2) On pose B=A+I. Calculer B et en déduire Bn , pour tout en fonction de n.
Exercice 8. Une entreprise produit trois biens B1, B2, B3. A cet effet elle doit utiliser quatre facteurs F1, F2, F3, F4. La matrice des coefficients techniques suivante précise quelles sont les quantités des facteurs nécessaires à la production d’une unité de chaque bien:
Par exemple, la production d’une unité de B1 exige respectivement dans l’hypothèse d’efficience maximale 4, 2, 1 et 3 unités des divers facteurs (matrice technologique). Les prix de revient des facteurs sont indiqués dans la matrice:
a. Pour un mois donné, l’entreprise a un programme de production donné par la matrice: c’est-à-dire qu’elle doit produire 3 unités de B1, 10 unités de B2 et 5 unités de B3. Trouver les quantités de facteurs nécessaires.
b. Calculer la dépense correspondant à ces facteurs.
Exercice 9.
1) Soit A une matrice carrée d’ordre 3 et I la matrice unité d’ordre 3.
Démonter que, si A vérifie une équation du type: A3+αA2+βA+δI=0, (α,β)〖∈R〗^2
2) Soit la matrice .
a) Déterminer , , tels que A vérifie l’équation précédente.
b) Calculer alors l’inverse de A en utilisant les résultats du 1).
Exercice 10. Sur un marché où trois biens A, B, C de prix respectifs a, b, c, sont en concurrence
parfaite, les demandes et les offres sont définies par
les égalités:
1) Calculer les prix d’équilibres du marché.
2) Déterminer les quantités échangées à l’équilibre du marché.
Activité 1.2 – Réduction d’une matrice sous forme échelonnée.
Système d’équations linéaires
Introduction
Dans cette activité, nous allons réduire une matrice en forme échelonnée en utilisant la méthode de Gaus-Jordan, et introduire le concept de rang d’une matrice.
Nous allons aussi généraliser le concept de systèmes d’équations linéaires et présenter une nouvelle méthode de résolution basée sur les matrices. On utilisera le rang d’une matrice pour discuter de la résolution de systèmes d’équations linéaires.
Détails de l’activité
I. Opérations élémentaires sur les lignes (colonnes) d’une matrice
Définition (opérations élémentaires). On appelle opérations élémentaires sur les lignes (colonnes) d’une matrice, l’une des opérations suivantes:
Permuter deux lignes entre elles (colonnes);
Multiplier une ligne (colonne) par un scalaire non nul
Permuter les lignes L_i et L_k
, se note L_i↔L_k ;
Multiplier la ligne L_i par le scalaire non nul λ , se note L_i←λL_i
;
Remplacer la ligne L_i par la ligne L_i+λL_k , se note L_i←L_i+λL_k
Opérations élémentaires sur les colonnes Permuter les colonnes C_j
et C_l
, se note C_j↔C_l ;
Multiplier la colonne C_j par un scalaire non nul β , se note C_j←βC_j
;
Remplacer la colonne C_j par la colonne C_j+λC_l , se note C_j←C_j+βC_l
Exemple. Considérons la matrice
Multiplier la première ligne de A par 1/2
Remplacer la ligne 3 par sa somme avec la ligne 2 multiplié par -1
Permuter les colonnes 1 et 3 :
Multiplier la colonne 4 par -4
Remplacer la colonne 2 par sa somme avec la colonne 4 multiplié par -2
II. Matrice sous forme échelonnée et rang d’une matrice
1. Définition (Matrice échelonnée et échelonnée réduite). On dit qu’une matrice réelle a une forme échelonnée si les conditions suivantes sont satisfaites
1. Toutes les lignes nulles, s’il en existe apparaissent après les lignes non nulles
Exemple. Les
sont sous forme échelonnée et la matrice A est sous forme échelonnée réduite.
Exemple. La matrice nulle est sous forme échelonnée réduite. Toute matrice ligne est sous forme échelonnée, et est sous forme réduite si le pivot est égal à 1
2. Réduction d’une matrice sous forme échelonnée ou échelonnée réduite Etant donné une matrice A
, de type m×n
, il est possible, à partir de A
, obtenir une matrice échelonnée, ou échelonnée réduite, en effectuant une séquence d’opérations élémentaires sur les lignes. Ce procédé s’appelle condensation d’une matrice.
La méthode utilisée pour réduire une matrice en une forme échelonnée est la méthode de Gauss qui consiste à:
Localiser la colonne de gauche qui ne soit pas composée seulement de zéros;
Remplacer la première ligne avec une autre ligne, si nécessaire, pour obtenir une entrée non nulle en haut de la colonne trouvée au point (1);
Si l’entrée est maintenant dans le haut de la colonne figurant au point (1) est a ≠ 1, alors multiplier la première ligne par l’inverse de a; pour obtenir un pivot égal à 1
;
Utiliser la première ligne pour remplacer dans les lignes suivantes tous les termes qui sont sous le pivot par zéro.
Maintenant, ignorer la première ligne de la matrice et appliquer l’étape (1) à la sous- matrice restante. Continuer jusqu’à ce que la matrice soit échélonnée.
On peut ajouter à ces étapes, une 6e étape pour obtenir une forme réduite de gauss. Cette méthode est connue sous le nom de méthode de Gauss-Jordan.
Exemple. Considérons la matrice
Réduisons cette matrice sous la forme échelonnée réduite:
Remarque. En fonction des opérations de base de lignes appliquées, une matrice peut être réduite à différentes matrices échelonnées. Cependant, chaque matrice est transformée en une unique forme échelonnée réduite par une réduction progressive indépendamment d’opérations élémentaires appliquées sur des lignes.
3. Définition (Rang d’une matrice). Le rang d’une matrice échelonnée est égal au nombre de lignes non nulles (ce qui équivaut au nombre de pivots). Etant donnée une matrice réelle A de dimension arbitraire, le rang de A, notée rg(A)
, est égal au rang de la matrice échelonnée obtenue à partir de la matrice A en effectuant des opérations élémentaires.
Exemple. Le rang de la matrice A précédente est 3
et le scalaire non nul λ . Alors:
rg(A)≤m et rg(A)≤n rg(λA)=rg(A)
; rg(AB)≤rg(A) et rg(AB)≤rg(B)
; rg(A^t)=rg(A).
III. Systèmes d’équations linéaires
1. Définition (Equations linéaires sur le corpsR ). Soit n∈N
. On appelle équation linéaire d’inconnues x_1,x_2,…,x_n , sur le corps R
, toute équation de la forme:
a_1 x_1+a_2 x_2+⋯+a_n x_n=b , Avec a_i,b∈R
, i=▁(1,n)
et il existe au moins un i∈{1,2,…,n}
tel que a_i≠0 Pour tout i∈{1,2,…,n}
, a_i
est appelé coefficient de l’inconnue x_i , et b
), sur R
a_1 x_1+a_2 x_2+⋯+a_n x_n=b , Est un élément s=(s_1,s_2,…,s_n)∈R^n , qui vérifie l’équation.
Exemple. Le couple s=(-4,1)∈R^2 est une solution de l’équation 2x_1+3x_2=-5 (ou 2x+3y=-5) , car, 2(-4)+3.1=-5
Remarque. Il est à noter que:
2x_1+3x_2=-5⟺x_1=(-5)/2-3/2 x_2 et x_2=λ∈R , Par suite, l’ensemble solution de cette équation est S={((-5)/2-3/2 λ,λ): λ∈R} .
On a ici une infinité de solutions.
2. Définition (Systèmes de m
équations linéaires sur un corps). Soient m,n∈N . Un systéme de m
équations linéaires, d’inconnues x_1,x_2,…,x_n , sur R
, est un système de la forme
où a_ij ,〖 b〗_i∈R , i=▁(1,m)
e j=▁(1,n)
Matrices associées aux systèmes d’équations linéaires sous forme canonique Matrice des coefficients:
Matrice colonne des inconnues:
Matrice colonne des termes independants:
Matrice augmentée:
Représentation matricielle d’un système d’équations linéaires sous forme canonique:
Exemple. Une représentation matricielle du système d’équations suivant,
A la matrice augmentée est
Définition (Solution d’un système d’équations linéaires). Une solution d’un système de m équations linéaires, à n
inconnues, sur R , est un n-uplet
s=(s_1,s_2,…,s_n)∈R^n ,
Qui est solution de chacune des m équations linéaires.
Exemple. L’élément s=(1,4,1,1)〖∈R〗^4 est slution du système
puisque:
Par contre, l’élément s=(-7,0,1,1)〖∈R〗^4 n’est pas solution du système car:
Dans ce cas, s=(-7,0,1,1)〖∈R〗^4
Définition (Classification d’un système par rapport à ses solutions) Un système de m équations linéaires, à n
inconnues, sur R
, est dit possíble s’il a au moins une solution, impossíble s’il ne possède aucune solution.
Théorème (Classification d’un système par rapport à ses solutions)). Soit un système de m équations linéaires, à n
inconnues, sur R , et les matrices A
et [A|B]
, matrice des coefficients et matrice augmentée du système respectivement. Alors:
Le système une solution unique , si et seulement si, rg(A)=rg([A|B])=n
;
Le système admet une infinité de solution si et seulement si, rg(A)=rg([A|B])<n
;
Le système est impossible si rg(A)<rg([A|B]) .
Définition (Degré d’indétermination d’un système). Soit un système de m équations linéaires à n
inconnues, sur R . Le nombre g=n-rg(A)
est appelé degré d’indétermination du système.
Remarque. Le degré d’indétermination d’un système donne le nombre de variables libres d’un système d’équations linéaires, à savoir, les variables (ou inconnues) qui peuvent prendre toutes les valeurs réelles, la solution globale du système.
Si le degré d’indétermination est égal à zéro, le système peut être déterminé, faute de quoi le système sera indéterminé.
Exemple. Le système
Peut être indéterminé parce que
Noter que rg(A)=rg([A|B])=2<4(# d’inconnues).
Ce système admet deux variables libres car g=4-2=2 Exemple. Le système
Est impossible:
3. Résolution de systèmes d’équations linéaires
Définition (Résolution de systèmes d’équations linéaires) Résoudre un système de m équations linéaires, à n
inconnues, c’est déterminer l’ensemble des solutions (ensemble de toutes les solutions) ou de conclure qu’il est impossible.
.Résolution d’un système de m équations linéaires, à n
inconnues, qui a une matrice augmentée échelonnée (non réduite):
Si rg(A)<rg([A|B])
le système est impossible.
Si rg(A)= rg([A|B])=n
, on détermine une soluton unique du système en déterminant les valeurs des inconnues (ou variables) en faisant des substitution du bas vers le haut.
Si rg(A)= rg([A|B])<n
, on détermine l’ensemble solution S, en attribuant des paramètres aux variables libres (ou indépendantes) puis en déterminant la valeur ou expression algébrique des variables dépendantes des paramètres, par substituion de bas vers le haut.
Les variables dépendantes sont associées aux pivots de la matrice augmentée du système.
Exemple. Le système
parce qu’il n’est associée à aucun pivot). Alors
L’ensemble solution est
Qui est sous forme échelonnée. Noter que le système est possible car rg(A)=rg([A|B])=3 (#
d’inconnues) . Alors:
Résolution d’un système de m
Exemple. Le système
Qui est échelonnée réduite. Noter que ce système est possible, de degré d’indétermination g=4-3=1
. Alors:
Définition (Systèmes équivalents). Deux systèmes d’équations linéaires, à n inconnues, sont dites équivalentes si ils ont le même ensemble solution.
Théorème (Principes d’équivalence des systèmes d’équations linéaires). On obtient un système d’équations linéaires équivalent, si on applique l’une des trois opérations suivantes:
1. Changer l’ordre des équations ;
2. Multiplier une équation donnée pour un scalaire non nul λ ;
3. Remplacer une équation donnée par sa somme avec une autre équation,
Échange entre eux, l’équation de la ligne i et l’équation de la ligne k
, équivaut à l’opération L_i↔L_k
, sur les lignes de sa matrice augmentée;
Multiplication de l’équation de la ligne i par un scalaire non nul λ
, équivaut à l’opération L_i←λL_i
, sur les lignes de sa matrice augmentée;
Le remplacement de l’équation de la ligne i par sa somme avec l’équation de la ligne k , multiplié par un scalaire λ
, équivaut à l’opération L_i←L_i+λL_k
,, sur les lignes de sa matrice augmentée.
Ainsi, la matrice échelonnée (réduite ou non) obtenue à partir de la matrice augmentée d’un système d’équations linéaires en appliquant les opérations élémentaires sur les lignes est associée à un système d’équations linéaires équivalent du dit système.
Ainsi, une règle pratique pour résoudre un système d’équations linéaires est de réduire sa matrice augmentée en une forme échelonnée (réduite ou non), et à partir de là, pour résoudre le système équivalent associé.
Exemple. Résoudre le système suivant:
Par suite, l’ensemble solution est
Exemple. Résoudre le système suivant
IV. Système d’équations linéaires homogène
Définition (Système homogène). Un système d’équations linéaires est dit homogène (ou sans seconds membres) si tous les termes indépendants sont égaux à zéro..
Exemple. Le système
Exemple. Le système homogène associé au système
Remarque. On note que:
Si AX=B
peut être déterminé, son système homogène associé aussi.
Si AX=B
admet une infinité de solutions, son système homogène associé aussi.
Si AX=B
est impossible, son système homogène associé est possible (déterminé ou indéterminé).
Théorème. Soit s_p
une solution particulière du système de m équations linéaires AX=B
. Alors, s_0
est solution de ce système si et seulement si il existe une solution particulière, s_h du système homogène associé, AX=0_(m×1)
, telle que s_0=s_p+s_h .
Remarque. Comme résultat du théorème précédent, une solution général d’un système de m équations linéaires, AX=B
, s’obtient en additionnant une solution particulière à la solution générale de son équation homogène associée, AX=0_(m×1)
En outre, la solution générale du système homogène associé à, est obtenue en soustrayant de la solution générale d’une solution particulière de celui-ci.
Exemple. La solution général du système
Une solution particulière s_p
, de ce système, peut s’obtenir en prenant des valeurs concrètes aux variables libres λ e β
. Par exemple λ=β=0 , on a s_p=(1,2,0,0)
Ensuite, la solution générale du système homogène associé,
Conclusion
En fonction des opérations élémentaires sur les lignes appliquées, une matrice peut être réduite à différentes matrices de forme échelonnée. Cependant, chaque matrice est
transformée en une unique forme échelonnée indépendamment des opérations élémentaires appliquées sur des lignes.
Toute matrice réelle a un, et un seul rang.
Une solution d’un système d’équations linéaires en n inconnues est un élément de R^n
La possibilité de résolution d’un système d’équations linéaires dépend du rang de sa matrice augmentée et de sa matrice des coefficients.
Exercice 2. Discuter du rang de chacune des matrices réelles qui suivent, en fonction des paramètres réels indiqués (a
, α et β
Exercice 3. Considérer la matrice
Où a
est un paramètre réel.
Déterminer les valeurs réelles de a , telles que rg(A)<3
Déterminer les valeurs réelles de a , telles que, rg(A)=3
Pour a=5
, réduire la matrice A
en une forme échélonnée par applications d’opérations élementaires sur les lignes et / ou colonnes.
Exercice 4. Résoudre les systèmes d’équations suivants:
Exercice 5. Discuter le système suivant en fonctions des réels a et b
Exercice 6. Résoudre le système suivant
Indiquer l’ensemble solution de son système homogène associé.
Exercice 7. Soient quatre variables liées par les relations de récurrence suivantes oû
1) Mettre ce système d’équations sous la forme matricielle.
2) En notant la matrice du système, montrer que
Exercice 8. Soit le tableau input-output pour une économie à trois secteurs S1, S2, S3.
S1 S2 S3
1) Compléter le tableau.
2) Calculer les productions nécessaires à satisfaire les demandes finales suivantes:
a) f1 et f3 inchangés et f2 doublé,
b) f1 triplé, f2 augmenté de 75% et f3 doublé.
NB dans ce tableau x est la quantité de production, f est la demande finale et v la valeur ajoutée.
Exercice 9. Une entreprise produisant deux biens B1 et B2 a pour matrice des coefficients techniques .
Les coûts de production des biens sont respectivement 30 000 F et 45000 F.
1) Déterminer les prix de vente respectifs des biens.
2) Supposons que le coût de production du premier bien augmente de 75% et celui du deuxième de 100%. Déterminer les nouveaux prix de vente des biens.
Activité 1.3 –Déterminant et applications. Matrice régulière.
Introduction
Le but de cette activité, c’est d’introduire le concept de déterminant d’une matrice carrée, et à partir des propriétés de fournir des méthodes efficientes et efficaces pour déterminer la valeur du déterminant d’une matrice carrée.
On introduit aussi le concept de matrice régulière, et de déterminer l’inverse d’une matrice régulière à l’aide de système d’équations linéaires et par application déterminant.
On introduit enfin le concept de système de Cramer, et on présente la méthode Cramer (basé sur le calcul déterminant) pour la résolution d’un tel système.
Détails de l’activité
I. Permutation de nombres entiers naturels
Définition (Permutation de nombres entiers naturels). Etant donnés n∈N entiers naturels, 1,2,…,n
nombre une liste quelconque dans laquelle ces nombres sont présentés dans un ordre arbitraire.
Exemple. Soient les entiers naturels 1,2,3 . Il existe 6 permutations de ces nomres:
Remarque (Nombre de permutations). Etant donnés les entiers naturels 1,2,…,n , il existe
Permutations de ces entiers naturels.
L’ensemble de toutes les permutations de n entiers naturels est noté S_n
Définition (Inversion). Soient i_1,i_2,…,i_n
une permutation arbitraire des entiers naturels 1,2,…,n . On dit que les éléments i_j
et i_k
forment une inversion si j<k et i_j>i_k
, ou encore, si les permutations i_j et i_k
apparaissent dans un ordre décroissant.
Exemple. Dans la permutation λ=2,3,1 , des entiers naturels 1,2,3
, 2 et 1
forment une inversion , 3 et 1
Exemple. La permutation δ=2,3,1 , des entiers 1,2,3
, est paire (on a deux inversions).
II. Déterminant d’une une matrice carrée
Définition (Déterminant d’une une matrice carrée). Soit A=[a_ij]
une matrice carrée d’ordre n . On appelle déterminant de A , et on note |A|
Exemple. Définissons les déterminants des matrices carrées d’ordre 1 , d’ordre2
et d’ordre 3 Soit A=[a_11]
, une matrice carrée d’ordre 1 . Alors, |A|=a_11
Soit A=[a_11 a_12 a_21 a_22 ]
, une matrice carrée d’ordre 2 Comme,
où I
est une permutation paire , et α
est une permutiation ímpaire. Alors, par définition,
Soit A=[a_11 a_12 a_13 a_21 a_22 a_23 a_31 a_32 a_33 ] , une matrice carrée d’ordre 3
. Comme,
où I , δ
et ε
sont des permutations paires, et α , γ
e β
sont des permutations ímpaires. Alors
III. Calcul pratique du déterminant
1. La règle de Sarrus est une règle mnémotechnique pour calculer le déterminant d’une matrice carrée d’ordre 3. Chacune des figures qui suivent, montrent cette règle sous forme résumée. Sur ces figures, des lignes pleines représentent les produits d’entrées de la matrice A qui doivent être attribués d’un signe positif, et les lignes pointillées représentent les produits des entrées de la matrice A qui doivent être attribués d’un signe moins.
Remarque. Le calcul déterminant par la définition n’est pas très efficace, parce que le nombre d’actions de ce calcul augmente rapidement avec l’ordre de la matrice carrée. Par exemple:
Par conséquent, en général, le calcul du déterminant se fait pas application de propriétés clés.
2. Définition (Cofacteur d’un élément). Soit A=[a_ij]
une matrice carrée d’ordre n
. On appelle cofacteur (ou complémentaire algébrique) de l’élément a_ij , de la matrice A
, le nombre
où A(i|j)
est la sous-matrice de A , obtenue en éliminant la ligne i
et la colonne j de la matrice A
Exemple. Considérons la matrice
Théorème (Théorème de Laplace). Soit A=[a_ij]
une matrice carrée d’ordre n . Alors:
Pour tout c∈{1,2,3,…,n}
, on a
Méthode de Laplace de développement du déterminant suivant la colonne c .Pour tout l∈{1,2,3,…,n}
, on a
Méthode de Laplace de développement du déterminant suivant la ligne l Exemple. Soit la matrice
Développement suivant la 1e colonne:
Développement suivant la 2e ligne:
Remarque. le théorème de Laplace affirme que le déterminant d’une matrice carrée est obtenue en additionnant les produits des éléments d’une ligne [colonne] par leurs cofacteurs, et réduit le calcul de déterminant d’une matrice d’ordre n
au calcul de déterminants de matrices d’ordre n-1
En appliquant le théorème de Laplace, on doit choisir la ligne ou la colonne avec le plus grand nombre de zéros (pour faciliter les calculs).
Théorème. Le théorème de Laplace a pour conséquence immédiate des propriétés suivantes:
Si A
est une matrice triangulaire, alors le déterminant de A est égal au produits de ses éléments diagonaux.
Si A
est une matrice carrée avec une ligne [colonne] nulle, alors |A|=0 Théorème. Soit A=[a_ij]
une matrice carrée d’ordre n Si la matrice B
est obtenue à partir de la matrice A
, en permutant deux lignes [colonnes], alors
|A|=-|B| , Autrement dit,
Si la matrice B
est obtenue à partir de la matrice A , en multipliant une ligne [colonne] de A
par un scalaire λ≠0 , alors
Si la matrice B
est obtenue à partir de la matrice A
, en substituant une ligne donnée [colonne] par sa somme avec une autre ligne [colonne]
multipliée par un scalaire λ alors |B|=|A| , Autrement dit,
Remarque. La combinaison de ces deux derniers théorèmes, peut grandement améliorer l’efficacité du calcul des déterminants, par rapport à la méthode de calcul par la définition.
Autrement dit, on peut utiliser les opérations élémentaires sur les lignes [colonnes] de la matrice pour obtenir de plus en plus des zéros dans une ligne donnée [de la colonne] de la matrice ou transformer une matrice en une matrice triangulaire, avant d’appliquer le développement de Laplace et / ou ses conséquences.
Exemple. Soit la matrice Alors
Exemple. Calculer le déterminant de la matrice
Théorème (Propriétés des déterminants). Soit A une matrice carrée d’ordre n∈N
. Alors:
|λA|=λ^n |A|
|A^t |=|A|
Si deux lignes [colonnes] de A sont proportionnelles, alors |A|=0 Si une ligne [colonne] de A
peut se décomposer en somme de deux lignes [colonnes] le déterminant de A est égal à la somme des déterminants de deux matrices, dans lesquelles cette ligne [colonne] utilise une partie à chaque fois, en gardant les lignes restantes [colonnes].
III. Matrice régulière – inverse d’une matrice carrée
Définition (Matrice régulière (ou matrice inversible)). Une matrice carrée A , d’ordre n∈N
, est dite régulière (ou inversible), s’il existe une matrice carrée d’ordre B , de même ordre telle que AB=BA=I_n
Dans ce cas, la matrice B est appelée de A
, et notée B=A^(-1) . De même on dit que A
est inverse de B , e et on écrit A=B^(-1)
Théorème. Soient A et B
deux matrices carrées d’ordre n . Alors, AB=I_n⟺BA=I_n
Remarque. Par le théorème précédent, une véritable matrice carrée d’ordre A
de même ordre n , tel que:
AB=I_n ou BA=I_n
Exemple. Soit la matrice
Est inverse de A , ou encore, A^(-1)=B , ce qui équivaut à, B^(-1)=A
Il suffit de vérifier que AB=I_3 , ou BA=I_3
. On a
Exemple. Considérons la matrice carrée d’ordre 2
Alors,
Théorème (Unicité de la matrice inverse). Toute matrice régulière admet une et une seule matrice inverse.
Théorème (Propriétés de la matrice inverse).
Si A
est une matrice régulière, alors A^(-1)
est aussi une matrice régulière et 〖(A^(-1))〗^(-1)=A Si A
et B
sont deux matrices régulières de même ordre, AB
est aussi une matrice régulière et 〖(AB)〗^(-1)=B^(-1) A^(-1).
Si A
est une matrice régulière, alors A^t
est aussi une matrice régulière et 〖(A^t)〗^(-1)=〖(A^(-1))〗^t Se A
est une matrice régulière, alors, par un scalaire λ≠0 , λA
est aussi une matrice régulière et 〖(λA)〗^(-1)=1/λ A^(-1) Soit k∈N
. Soient A_i , i=1,2,3,…,k
Soit k∈N . Si A
est une matrice régulière, alors A^k
est aussi une matrice régulière et 〖(A^k)〗^(-1)=〖(A^(-1))〗^k
Procédé de détermination de l’inverse d’une matrice régulière
A partir des exemples qui suivent, on va présenter des méthodes utilisées pour calculer l’inverse d’une matrice régulière.
Considérons la matrice carrée d’ordre 3
Son inverse, B=A^(-1)
, est aussi une matrice carrée d’ordre 3
Comme les coefficients des matrices dans les systèmes (1)
sont (dans ce cas, elles sont égales à A
), alors les trois systèmes peuvent être résolus simultanément:
Méthode pour déterminer l’inverse d’une matrice régulière A , d’ordre n
. Cette méthode consiste à réduire la matrice [A|I_n]
sous forme échélonnée réduite, [I_n |A^(-1)]
, par application des opérations élémentaires sur les lignes.
Exemple. Déterminer l’inverse de la matrice régulière A=[1 1 2 1 ]
D’où, A^(-1)=[-1 1 2 -1 ]
Théorème (Critères de matrices régulières). Soit A
une matrice carrée, d’ordre n
. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes:
A
est régulière;
Le système d’équations linéaires AX=B
possède une unique solution, pour toute matrice colonne B , AX=B⟺X=A^(-1) B
Théorème (Déterminant d’une matrice régulière). Soit A une matrice carrée régulière, d’ordre n
. On a,
|A^(-1) |=1/(|A|) .
Définition (Adjointe). Soit A une matrice carrée d’ordre n
. On appelle matrice complémentaire (ou comatrice) de A, la matrice C=[A_ij]
, i,j=▁(1,n) , où A_ij
sont les cofacteurs des éléments a_ij de la matrice A
. On appelle matrice adjointe de A , la matrice Adj(A)=C^t
Théorème. Soit A
une matrice carrée d’ordre n . Alors:
A∙Adj(A)=Adj(A)∙A=|A|I_n Si A
est une matrice régulière, alors |A|≠0 , et
Calculons la matrice adjointe de cette matrice A
Théorème (Déterminant d’un produit). Supposons que les opérations entre les matrices ci-dessous soient possibles. Alors:
|A∙B|=|A|∙|B|
|A_1∙A_2∙⋯∙A_k |=|A_1 |∙|A_2 |∙⋯∙|A_k | , pour tout k∈N
|A^k |=〖|A|〗^k , pour tout k∈N
IV. Système de Cramer
Définition (Système de Cramer). Un système d’équations linéaires AX=B , avec n
inconnues, est appelé système de Cramer, si la matrice A est inversible
Théorème. Soit AX=B
un système de Cramer avec n inconnues. On représente par A_i (B) la matrice que obtenue de A , en substituant la colonne i
par la colonne des éléments indépendants B . Alors:
Pour tout i∈{1,2,3,…,n}
Exemple. Déterminons x_2 dans le système de Cramer
Conclusion
On peut calculer le déterminant de toute matrice carrée. Pour cela, on peut utiliser la définition. Cependant, les opérations élémentaires (sur les lignes et / ou colonnes) ont une grande importance dans le calcul du déterminant de calcul lorsque l’on combine avec d’autres propriétés de celui-ci.
Le déterminant d’une matrice carrée permet, entre autres, l’identification d’une matrice inversible et de déterminer son inverse, et aussi de résoudre un système Cramer.
Dans la résolution du système de Cramer, on peut également utiliser de facto la matrice
Evaluation
Déterminer les valeurs dans l’expression ci-dessous, sachant que A , B
et C
sont des matrices carrées, d’ordre n , et que |A|=-2
, |B|=3 et |C|=-1
Sachant que la matrice A est carrée d’ordre 3
, et que
Déterminer les valeurs de |A|
et de |B|
Calculer le déterminant de la matrice:
Calculer A^(-1)
Sachant que
Résoudre l’équation suivante:
Considérer la matrice
Déterminer |A|
et Adj(A)
Vérifier que A∙Adj(A)=|A|I_3 Déterminer A^(-1)
Considérer le système de Cramer suivant:
Représenter-le sous forme matricielle, AX=B
Activité 1.4 – le logiciel SCILAB: application à l’algèbre linéaire.
Introduction
Scilab est un logiciel pour le calcul scientifique et la visualisation, avec l’open source, et est libre. Pour plus d’informations sur cet outil puissant pour le calcul scientifique, vous pouvez consulter le site officiel: www.scilab.org .
Dans cette activité, on présentera quelques outils SCILAB utiles pour l’informatique dans le cadre de l’algèbre linéaire, tels que:
Opérations et matrice (y compris le calcul du déterminant et de l’inverse);
Résolutions de systèmes d’équations linéaires;
Opérations et des vecteurs dans l’espace vectoriel R^n , n∈N
et n>1
Calcul de valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice (ou endomorphisme)
L’idée est de montrer les outils de base pour effectuer des calculs, principalement liés à des matrices puisque le reste est résumé à des matrices réelles.
Pour plus d’informations, le lecteur est renvoyé au Package algèbre linéaire Package, l’aide
“?”:
Détails de l’activité Matrices et opérations
Pour faciliter la présentation, on va représenter une matrice A=〖[a_ij]〗_(m×n) , m,n∈N
, par A_(m×n)
, dans SCILAB par A_mn
Insertion de matrice: pour l’insertion d’une matrice SCILAB, on utilise “,” (vírgule) ou “ ” (espace vide) pour marquer la fin d’une entrée, et “;” pour marquer la fin d’une ligne. Les entrées sont insérées en lignes.
Exemple. Insérer la matrice carrée d’ordre 4
Exemple. Insérer la matrice A=[a_ij],i∈{1,2,3,4},j∈{1,2,3}
et a_ij=1/(i+j-1)
Exemple. Insérer la matrice B=[b_ij],i,j∈{1,2,3}
et b_ij=i-j+1
Exemple. Considérons les matrices A=[1 2 -1 0 -3 4 ] et B=[-1 5 7 -1 3 -8 ]
Déterminer -3A+2B-A
Exemple. Déterminer le produit AB , avec A=[-1 2 -2 0 1 3 ]
et B=[1 2 -2 0 3 1 -1 2 -2 1 -2 3 ]
Exemple. Calculer le déterminant de la matrice
En [e,m]
, m
est la mantisse du déterminant de A , en base 10
; et e
est un entier représentant l’exposant de10 , quand le déterminant de A
est représenté en base 10
Autrement dit, |A|=-7
Exemple. Calculer l’inverse de la matrice
”, a été insérée dans la “console”, et juste “eye(A)
”
Matrice symétrique et anti-symétrique.
La transposée de A , A^t
, dans SCILAB est A’
Exemple. Considérons la matrice A=[1 -2 2 2 1 -2 -1 1 3 ] Déterminer une matrice symétrique B
, et une matrice antisymétrique C , telles que B+C=A
Exemple. Résoudre x_2 dans le système de Cramer
Conclusion
Avec SCILAB on peut effectuer diverses opérations dans le cadre du Algèbre linéaire:
les opérations sur matrices, le calcul des valeurs et vecteurs propres d’une matrice (ou endomorphisme), etc.
Son utilisation, ne dispense pas du calcul mental, mail il facilite certains calculs, très laborieux, et permet de confirmer certaines opérations effectuées.
Résumé de l’unité
Concernant les opérations sur les matrices, on peut ajouter des matrices de même type, mais on ne peut multiplier des matrices que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième.
La méthode générale pour résoudre un système d’équations linéaires est la mise sous forme échelonnée de la matrice augmentée. Cependant, les systèmes d’équations linéaires, avec matrice des coefficients inversible peuvent être résolus par la méthode de Cramer.
On peut déterminer l’inverse d’une matrice inversible par la résolution d’un système, et aussi par l’utilisation de la matrice adjointe (une application de calcul de déterminant).
Notez que les matrices inversibles sont nécessairement des matrices carrées. En outre, on ne calculer que les déterminants de matrices carrées.
SCILAB a assez des outils pour résoudre les problèmes dans le domaine de l’algèbre linéaire.
Il peut être utilisé pour résoudre des problèmes plus laborieux, et les résultats confirment les opérations faites mentalement.
Evaluation de l’unité
Vérifier votre compréhension!
Test sommative de l’unité système d’équations linéaires, matrices et déterminants Instructions
Le test d’évaluation a sept questions, certains avec alinéas.
Evaluation
Discuter le rang de la matrice suivante, en fonction des paramètres réels α et β
Vérifier que la matrice carrée
Est racine du polynôme f(x)=x^2-5x+4 Soient A
et B
des matrices inversibles. Prouver que se A+B est inversible et que
Calculer l’inverse de la matrice carrée
Déterminer la matrice carrée A , sachant que
Discuter le système d’équations linéaires suivant, en fonction des paramètres réels a et b
Résolvez-le pour a=-1 e b=-3
Calculer le déterminant de la matrice carrée suivante:
donnez, en justifiant, la valeur du déterminant suivant:
Considérer les matrices carrées
Déterminer la valeur de:
Unité 2. Espaces et sous-espaces vectoriels réels
Introduction à l’unité
On étudie les espaces (et sous-espaces) vectoriels et en particulier les espaces vectoriels de dimension finie. On introduit aussi le concept de produit scalaire et on étudie les espaces euclidiens.
Termes clés
Espace vectoriel: ensemble non vide muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire et ayant les mêmes propriétés que le corps F.
Vecteur: élément d’un espace vectoriel
Sous-espace vectoriel: sous-ensemble d’un espace vectoriel ayant les mêmes propriétés que l’espace vectoriel.
Famille libre, famille liée: famille de vecteurs que l’on peut ou ne peut pas lier entre eux.
Famille génératrice: famille de vecteurs qui engendre un espace ou sous-espace vectoriel
Base d’un espace vectoriel: famille libre et génératrice
Espace euclidien: espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire
Base orthonormée: base dont les vecteurs sont deux à deux orthogonaux.
Objectifs de l’unité
A la fin ce cette unité, on doit être capable de:
• Identifier un espace vectoriel et un sous-espace vectoriel de cet espace vectoriel.
• Identifier des familles de vecteurs libres ou liées
• Déterminer un sous-espace vectoriel engendré par une famille de vecteurs.
• Déterminer une somme, une intersection et une réunion de sous-espaces vectoriels.
• Déterminer le supplémentaire d’un sous-espace vectoriel.
• Déterminer une base et la dimension d’un espace vectoriel finiment engendré et d’un sous-espace vectoriel.
• Identifier un produit scalaire.
• Déterminer une base orthonormée d’un espace vectoriel donné.
• Déterminer le produit extérieur de deux vecteurs.
Activités d’apprentissage
Activité 1.1 –Espaces vectoriels réels: définition et propriétés;
base et dimension
Introduction
Cette activité porte sur la notion d’espace vectoriel et ses principales propriétés. On s’intéresse plus aux espaces vectoriels réels finiment engendrés en particulier, en les espaces R^n
, n∈N et n>1 , et P^n , n∈N
On aborde aussi les notions de dépendance et indépendance linéaire, parce qu’ils sont associés à toutes les propriétés d’un espace vectoriel.
On accorde une attention particulière à l’étude de base et la dimension d’un espace vectoriel.
L’introduction d’un produit intérieur dans un espace vectoriel, permet: le calcul de la norme
Détails de l’activité
Définition (Espace vectoriel réel). Soit V un ensemble non vide, et soit F un corps. On dit que V
est un espace vectoriel sur le corps F quand:
On définit sur V
une loi de composition, appelée addition et représentée par “+
”, telle que,
∀ uv∈V , u +v ∈V,
et les propriétés suivantes sont vérifiées:
∀ u ,v ∈V , u +v =v +u
∀ u ,v w ∈V
Il existe un vecteur dans V
, dénommé “vecteur nul”, et représenté par0 ⃗ , tel que
∀ u ⃗∈V,u ⃗+0 ⃗=u ⃗;
∀ u ⃗∈V
, il existe un vecteur dans V , dénommé “symétrique de u ⃗
”, et représenté par “-u ⃗
”, tel que u ⃗+(-u ⃗)=0 ⃗
On définit une loi de composition externe “dénommée “produit (ou multiplication) par un
∀λ,β∈F , ∀ u ⃗∈V
, on a (λ+β)u ⃗=λu ⃗+βu ⃗
∀λ,β∈F , ∀ u ⃗∈V
, on a(λβ)u ⃗=λ(βu ⃗)
∀ u ⃗∈V , on a 1u ⃗=u ⃗
Lorsque ces conditions sont vérifiées, les éléments de V sont appelés vecteurs, et ceux de F
, des scalaires.
Si le corps F=R
, V est appelé espace vectoriel réel.
Exemple. Soit n∈N et n>1
. Considérons l’ensemble
R^n={(x_1,x_2,…,x_n):x_i∈R,i=▁(1,n)}
Avec les opérations suivantes:
Addition (usuelle): ∀ x ⃗=(x_1,x_2,…,x_n),y ⃗=(y_1,y_2,…,y_n)∈R^n ,x ⃗+y ⃗=(x_1+y_1,x_2+y_2,…,x_n+y_n),
Multiplication par un scalaire (usuelle): ∀ x ⃗=(x_1,x_2,…,x_n)∈R^n , ∀ λ∈R
λx ⃗=(λx_1,λx_2,…,λx_n).
Avec ces opérations, R^n
est un espace vectoriel réel. Cette activité s’intéresse seulement aux espaces vectoriels réels Notons que le vecteur nul est 0 ⃗=(0,0,…,0)
, muni de l’addition usuelle des polynômes et la multiplication usuelle d’un polynôme par un réel est un espace vectoriel.
Exemple. Soit n∈N_0
(ensemble des entiers naturels non négatifs). Soit P^n
, l’ensemble des polynômes à coefficients réels et à une inconnue, de degré inférieur ou égal à n
, i.e.
P^n={a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_1 x+a_0:a_i∈R,i=▁(0,n)}.
P^n
, muni de l’addition usuelle des polynômes et la multiplication usuelle d’un polynôme par un réel est un espace vectoriel.
Remarque. L’ensemble P^0=R , qui est l’ensemble R
est un espace vectoriel réel, muni de l’addition usuelle des nombres réels et de la multiplication usuelle d’un nombre réel par un nombre réel.
Le vecteur nul des espaces vectoriels P et P^n
, n∈N_0 , est 0 ⃗=0
, et le symétrique du vecteur
v ⃗=p(x)=a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+⋯+a_1 x+a_0 est
-v ⃗=-p(x)=-a_n x^n-a_(n-1) x^(n-1)-⋯-a_1 x-a_0
A chaque fois que l’on fera référence aux espaces vectoriels R^n , P et P^n
, sans mentionner les opérations, il faudra considérer qu’il s’agit des opérations usuelles.
Théorème (Propriétés). Soit V
un espace vectoriel réel. Pour tous vecteurs u ⃗,v ⃗∈V , et pour tous scalaires λ
et β , on a:
0v ⃗=0 ⃗ λ0 ⃗=0 ⃗ λv ⃗=0 ⃗
si, et seulement si, λ=0 ou v ⃗=0 ⃗
(-λ)v ⃗=-(λv ⃗)=λ(-v ⃗) λ(u ⃗-v ⃗)=λu ⃗-λv ⃗ (λ-β)u ⃗=λu ⃗-βu ⃗
Définition (Combinaison linéaire). Soit V
un espace vectoriel réel. On dit qu’un vecteur v ⃗∈V est combinaison linéaire des vecteurs v ⃗_1,v ⃗_2,…,v ⃗_n∈V , s’il existe des scalaires λ_1,λ_2,…,λ_n
, tels que
v ⃗=〖λ_1 v ⃗〗_1+λ_2+⋯+λ_n v ⃗_n.
Exemple. Dans l’espace vectoriel R^3 , le vecteur v ⃗=(-2,2,5)
est-il combinaison linéaire des vecteurs v ⃗_1=(1,1,1) , v ⃗_2=(1,1,0)
et v ⃗_3=(1,0,1) Or, v ⃗
est combinaison linéaire de v ⃗_1
si, et seulement si l’équation v ⃗=〖λ_1 v ⃗〗_1+λ_2 v ⃗_2+〖λ_3 v ⃗〗_3 d’inconnues λ_i,i=▁1,3
, admet une solution
v ⃗=〖λ_1 v ⃗〗_1+λ_2 v ⃗_2+〖λ_3 v ⃗〗_3⇔[1 1 1 1 1 0 1 0 0 ][λ_1 λ_2 λ_3 ]=[-2 2 5 ]⟺{λ_1=9 λ_2=-7 λ_3=-4 .
D’où, v ⃗
est combinaison linéaire de v ⃗_1 , v ⃗_2
et v ⃗_3
.Exemple. Dans l’espace vectoriel P , soient les vecteurs
v ⃗=-x^3-2x^2+x+1,v ⃗_1=x^3+3x-1,v ⃗_2=-x^3-x^2-x+1 et v ⃗_3=-5x^3-4x^2-7x+5 le vecteur v ⃗
est-il combinaison linéaire des vecteurs v ⃗_1 , v ⃗_2
et v ⃗_3 Le vecteur v ⃗
est combinaison linéaire des vecteurs v ⃗_1 , v ⃗_2
ev ⃗_3
si et seulement si l’équation
v ⃗=〖λ_1 v ⃗〗_1+λ_2 v ⃗_2+〖λ_3 v ⃗〗_3 d’inconnues λ_i,i=▁1,3
, é possède une solution unique
