I. Généralités
Définition 1.
SoitEetF deux espaces vectoriels.
Une applicationf :E7−→Fest ditelinéairesi : 1. ∀(u, v)∈E2, f(u+v) =f(u) +f(v) 2. ∀λ∈R, ∀u∈E, f(λu) =λf(u)
Théorème 1.
f est linéaire deEdansFsi, et seulement si, ∀λ∈R, ∀(u, v)∈E2, f(λu+v) =λf(u) +f(v).
Exemple 1.
1. f: M2(R)−→ M2(R)
M7−→AM , où A∈ M2(R)est fixée.
2. f: R3[X]−→R3[X]
P7−→(X7−→(X+ 1)P0(X) +P(X))
Définition 2.
1. L’ensemble des applications linéaires deEdansFse noteL(E, F).
2. Une application linéaire deEdans lui-même est appelée unendomorphismedeE. Leur ensemble se note simplementL(E).
Remarque.
Les applications des deux exemples précédents sont mêmes des endomorphismes.
Théorème 2.
L(E, F)etL(E)sont des espaces vectoriels réels.
Démonstration.
Soit(f, g)∈(L(E, F))2eta∈R. Montrons queaf+g∈L(E, F).
Elle est clairement définie surE, à valeurs dansF. Montrons qu’elle est linéaire. Soit(u, v)∈E2etλ∈R. On a : (af+g)(λu+v) =af(λu+v) +g(λu+v) par définitions deaf+g
=a(λf(u) +f(v)) +λg(u) +g(v) par linéarité
=λ(af(u) +g(u)) +af(v) +g(v) =λ(af+g)(u) + (af+g)(v)
Théorème 3.
Soitf ∈L(E, F). Alors : 1. f(0E) = 0F
2. ∀(λi)1≤i≤n∈Rn, ∀(ui)1≤i≤n∈En, f
n
X
i=1
ui
!
=
n
X
i=1
f(ui).
Théorème 4.
1. SoitE,FetGdes espaces vectoriels. Soitf ∈L(E, F)etg∈L(F, G). Alors,g◦f ∈L(E, G)
2. En particulier, sifetgsont deux endomorphismes deE, alorsg◦f est aussi un endomorphisme deE.
Démonstration.
Il suffit d’appliquer successivement la linéarité defpuis deg. Avec des notations usuelles, cela donne : (g◦f)(λu+v) =g(f(λu+v)) =g(λf(u) +f(v)) =λ(g(f(u)) +g(f(v)) =λg◦f(u) +g◦f(v).
Définition 3.
Soitf ∈L(E).
Alors, par convention, on pose f0=IdE, et ∀k∈N∗, fk=f◦...◦f (kfois).
Définition 4.
1. Une application linéaire bijective deEdansF est appelée unisomorphismedeEdansF. 2. Une application linéaire bijective deEdans lui-même est appelée unautomorphismedeE.
Définition 5.
On dit queEetFsontisomorphess’il existe un isomorphisme deEdansF.
Théorème 5.
1. Soitf un automorphisme deE. Alorsf−1est un automorphisme deE.
2. Soitf etgdeux automorphismes deE. Alorsg◦fest un automorphisme deE, et on a(g◦f)−1=f−1◦g−1.
Démonstration.
1. f−1est évidemment une bijection deEdans lui-même. Reste à montrer qu’elle est linéaire.
Soit donc(x, y)∈E2etλ∈R. ∃(u, v)∈E2 / x=f(u) et y=f(v).
Calculons, en utilisant la linéartié def:
f−1(λx+y) =f−1(λf(u) +f(v)) =f−1(f(λu+v)) = (f−1◦f)(λu+v) =λu+v=λf−1(x) +f−1(y).
2. On vient de voir que la composée d’applications linéaires l’est aussi.
On sait (ECE1) que la composée de bijections en est aussi une.
Donc,g◦fest un automorphisme deE, et le calcul de sa réciproque est aussi un résultat de ECE1.
II. Noyau et Image
Définition 6.
Soitf ∈L(E, F).
1. Lenoyaudefest Ker(f) ={u∈E|f(u) = 0F}.
2. L’imagedef est Im(f) ={f(u)∈F |u∈E}.
Théorème 6.
Ker(f)etIm(f)sont des s.e.v. respectifs deEetF.
En particulier, Im(f) =V ect(f(ei)i∈I), où (ei)i∈I est une base deE.
Démonstration.
1. a. On a f(0E) = 0F, donc 0E∈Ker(f).
b. Soit(u, v)∈(Ker(f))2etλ∈R. On a, par linéarité def:
f(λu+v) =λf(u) +f(v) =λ0F+ 0F = 0F, donc λu+v∈Ker(f).
2. Im(f) ={f(u)|u∈E}= (
f X
i∈I
λiei
!
(λi)i∈I ∈RI )
= (
X
i∈I
λif(ei)
(λi)i∈I∈RI )
=V ect(f(ei)i∈I)
Théorème 7.
1. f est injective si, et seulement si, Ker(f) ={0E}.
2. f est surjective si, et seulement si, Im(f) =F.
3. f est bijective si, et seulement si, Ker(f) ={0E}etIm(f) =F.
Démonstration.
1. a. Supposonsfinjective. Alors0Fa au plus un antécédent parf.
Mais on sait quef(0E) = 0F, donc cet antécédent est0E. Conclusion,Ker(f) ={0E}.
b. Supposons queKer(f) ={0E}. Soit(u, v)∈E2tels quef(u) =f(v). Alors, par linéarité, f(u−v) =f(u)−f(v) = 0F. Donc, u−v∈Ker(f), ie u−v= 0E, ou encore u=v. fest donc injective.
2. Il s’agit simplement de la définition de la surjectivité : l’ensemble image est l’ensemble d’arrivée tout entier.
3. Ce point est une conséquence conjointe des deux précédents.
Exemple 2.
1. Soit l’application
f: M3,1(R)−→ M3,1(R)
x y z
7−→
x+y−2z x−2y+z
−2x+y+z
. On a Ker(f) =V ect
1 1 1
et Im(f) =V ect
1 1
−2
;
1
−2 1
.
2. f: R3[X]−→R3[X]
P7−→(X7−→(X+ 1)P0(X) +P(X)) . On a Ker(f) ={0} et Im(f) =R3[X].
III. Applications linéaires en dimension finie
Remarque.
Dans cette section, ainsi que dans les sections qui suivent,EetFdésignent deux espaces vectoriels de dimensions finies.
On noteB={e1, ..., en}une base deEetB0={e01, ..., e0p}une base deF.
Définition 7.
Soitf ∈L(E, F).
Lerangdefest défini par rg(f) =dim(Im(f)).
Démonstration.
On a rg(f) =dim(Im(f)) =dim(V ect(f(e1), ..., f(en))) =rg(f(e1), ..., f(en)).
Théorème 9. du rang (admis) Soitf ∈L(E, F). On a
dim(E) =dim(Ker(f)) +dim(Im(f)) =dim(Ker(f)) +rg(f)
Exemple 3.
On a pu observer l’égalité lors des précédents exemples.
Théorème 10.
Soitf ∈L(E, F).
1. Sif est surjective, alors elle transforme une famille génératrice deEen une famille génératrice deF. 2. Sif est injective, alors elle transforme une famille libre deEen une famille libre deF.
3. f est bijective si, et seulement si, il existe une base deEdont l’image parfest une base deF. Dans ce cas, l’image de toute base deEest une base deF.
Démonstration.
1. Soit(ei)1≤i≤nune famille génératrice deE. Soity∈F. ∃x∈E / y=f(x).
Donc, y=f(x) =f
n
X
i=1
λiei
!
=
n
X
i=1
λif(ei), et la famille(f(ei))1≤i≤nest génératrice deF.
2. Soit(ei)1≤i≤nune famille libre deE.
Supposons que
n
X
i=1
λif(ei) = 0F.
On a alors
n
X
i=1
λif(ei) =f
n
X
i=1
λiei
!
= 0F.
Par injectivité, cela donne
n
X
i=1
λiei= 0E, mais cette famille est libre, donc les(λi)sont tous nuls.
3. En combinant les deux points précédents, on voit déjà qu’un isomorphisme transforme une base en une base.
Réciproquement, supposons qu’il existe une base deEdont l’image est une base deF. Alors,fest clairement surjective, puisque la base deFobtenue est à fortiori génératrice deF, donc siy∈F, alorsy=
n
X
i=1
λif(ei) =f
n
X
i=1
λiei
!
est bien atteint.
fest également injective : soitx=
n
X
i=1
λiei∈Etels quef(x) = 0F.
Alors, on peut écrire f(x) =f
n
X
i=1
λiei
!
=
n
X
i=1
λif(ei) = 0F, mais puisque(f(ei))1≤i≤nest une base deE, alors tous les (λi)sont nuls, iex=
n
X
i=1
λiei= 0E.
Théorème 11.
Soitf ∈L(E, F).
1. Sif est une surjection deEsurF, alors dim(E)≥dim(F). 2. Sif est une injection deEdansF, alors dim(E)≤dim(F).
3. Sif est une bijection / un isomorphisme deEdansF, alorsdim(E) =dim(F).
Démonstration.
1. L’image d’une base(ei)1≤i≤ndeE(donc génératrice) est une famille génératrice deF.
Cette dernière engendre donc un espace vectoriel de dimension au plus égale àn, iedim(F)≤dim(E).
2. L’image d’une base(ei)1≤i≤ndeE(donc libre) est une famille libre deF.
Donc, dim(E) =rg(ei)1≤i≤n=rg(f(ei)1≤i≤n)≤dim(F), puisque l’on sait juste que cette dernière famille est libre dansF. 3. C’est une combinaison des deux points précédents.
Exemple 4.
1.
f: M2,1(R)−→ M3,1(R)
x y
! 7−→
−x+y x−2y
−2x+y
ne peut pas être surjective, car dim(M2,1(R))< dim(M3,1(R)).
2. f: R3[X]−→R2[X]
P7−→P0 ne peut pas être injective, puisque dim(R3[X])> dim(R2[X]).
Théorème 12.
Soitf ∈L(E, F), oùdim(E) =dim(F) =n. Alors :
1. f est surjective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est bijective 2. f est bijective ⇐⇒ rg(f) =n
Démonstration.
1. Sifest injective, l’image d’une base deE(donc libre, de cardinaln) est une famille libre deF, de cardinaln, donc maximale.
C’est donc une base. Ainsi,fest bijective.
On montre de la même manière quefsurjective entrainefbijective.
Les réciproques sont évidentes.
2. fest bijective ⇐⇒ fest surjective ⇐⇒ Im(f) =F ⇐⇒ rg(f) =n Exemple 5.
Pour montrer que f: R3[X]−→R3[X]
P7−→(X7−→(X+ 1)P0(X) +P(X)) est bijective, il suffit de montrer au choix que Ker(f) = {0}, ou bien que Im(f) =R3[X].
Exemple 6.
20. f: RN −→ RN
(un)n∈N 7−→ (un+1)n∈N
est surjective non injective, ce qui montre d’une certaine façon que dim(RN)est infinie.
IV. Matrice d’une application linéaire
Dans toute cette partie, on considère deux e.v.EetFde bases respectivesB={e1, ..., en}etB0={e01, ..., e0p}, ainsi quef∈L(E, F).
Définition 8.
Lamatricedef relativement aux bases BetB0, notéematB,B0(f), est la matrice dont lajecolonne est constituée des coordonnées du vecteurf(ej)dans la baseB0.
On amatB,B0(f)∈ Mp,n(R).
Exemple 7.
Soit
f: M3,1(R)−→ M3,1(R)
x y z
7−→
x+y−2z x−2y+z
−2x+y+z
. Alors, matB(f) =
1 1 −2
1 −2 1
−2 1 1
.
Exemple 8.
mat(IdMn,1(R)) =In
Exemple 9.
Soit f: R3[X]−→R3[X]
P7−→(X7−→(X+ 1)P0(X) +P(X)) . Alors, mat1,X,X2(f) =
1 1 0 0 2 2 0 0 3
.
Théorème 14.
Soitu∈E, etv∈F.
En notantA=matB,B0(f),X le vecteur des coordonnées deudans la baseBetY le vecteur des coordonnées devdans la baseB0, on a :
v=f(u) ⇐⇒ Y =AX.
Exemple 10.
Soitf∈L(R3)de matrice
1 2 3 2 1 4 1 5 2
. Alors, pour obtenirf(x, y, z), il suffit de calculer
1 2 3
2 1 4
1 5 2
x y z
.
Ceci nous donne les coordonnées def(x, y, z)sous forme d’un vecteur colonne. Il n’y a plus ensuite qu’à le réécrire en ligne.
Théorème 15.
En notant toujoursA=matB,B0(f)etXle vecteur des coordonnées dexdans la baseB, on a : x∈Ker(f) ⇐⇒ AX= 0.
Théorème 16.
Im(f)est engendré par les vecteurs dont les coordonnées dans la baseB0sont les colonnes deA.
Exemple 11.
1 1 −2
1 −2 1
−2 1 1
x y z
=
x+y−2z x−2y+z
−2x+y+z
=f
x y z
Théorème 17.
SoitEetF deux e.v. de bases respectivesBetB0.
Soit f ∈L(E, F), g∈L(E, F) et λ∈R. Notons A=matB,B0(f) et B=matB,B0(g).
Alors :
1. f +g a pour matrice A+B 2. λf a pour matrice λA
Théorème 18.
SoitE,F etGtrois e.v. de bases respectivesB,B0etB00.
Soit f ∈L(E, F), g∈L(F, G) et λ∈R. Notons A=matB,B0(f) et B=matB0,B00(g).
Alors g◦f ∈L(E, G) a pour matrice BA.
Théorème 19.
En particulier, si f ∈L(E) et k∈N, alors fk(=f ◦...◦f) a pour matrice Ak.
Théorème 20.
On suppose quedim(E) =dim(F).
Alors,f est bijective si, et seulement si, sa matrice matB,B0(f) est inversible, et dans ce cas, on a matB0,B(f−1) =matB,B0(f)−1.
Exemple 12.
On cherche à résoudre le système linéaire
x+y−2z x−2y+z
−2x+y+z
=
a b c
, ce qui revient à inverser la matrice
1 1 −2
1 −2 1
−2 1 1
.
Théorème 21.
On a rg(f) =rg(matB,B0(f)).
Théorème 22.
L’application M :L(E, F) −→ Mp,n(R)
f 7−→ matB,B0(f) est un isomorphisme.
On a donc dim(L(E, F)) =dim(Mp,n(R)) =np.
V. Polynômes d’endomorphisme
Définition 9.
Soitf ∈L(E), etAsa matrice dans une baseBdeE. SoitP(X) =
p
X
k=0
akXkun polynôme. Alors :
1. On définit l’endomorphismeP(f)par (P(f))(u) =
p
X
k=0
akfk(u).
p
SoitP(X) =X2−3X+ 2. AlorsP(f) =f2−3f+ 2IdE=f◦f−3f+ 2IdE.
Exemples de calculs (classiques, et matriciels) avecf(x, y) = (2x+y,−x+ 3y), etf(P)(X) = (X+ 1)P0(X) +P(X).
Théorème 23.
Soitf ∈L(E), etA∈ Mn(R). Soit(P, Q)∈(R[X])2et(λ, µ)∈R2. On a : 1. (λP +µQ)(f) =λP(f) +µQ(f) et (P Q)(f) =P(f)◦Q(f).
2. (λP +µQ)(A) =λP(A) +µQ(A) et (P Q)(A) =P(A)Q(A).
Définition 10.
Soitf ∈L(E), etA∈ Mn(R). SoitP ∈R[X].
1. On dit quePest un polynôme annulateur def siP(f) = 0. (endomorphisme nul) 2. On dit quePest un polynôme annulateur deAsiP(A) =On. (matrice nulle)
Théorème 24.
Un polynôme est annulateur d’un endomorphismef ∈L(E)si, et seulement si, il est annulateur de sa matrice dans une base quelconque deE.
Exemple 14.
SoitA=
1 1 0
0 2 2
0 0 3
(ou encoref(P)(X) = (X+ 1)P0(X) +P(X)) etPle polynôme défini parP(X) =X3−6X2+ 11X−6.
Exemple 15.
SoitA= 6 3
−10 −5
!
etPle polynôme défini parP(X) =X2−X.
CalculerP(A), et en déduire queAn’est pas inversible.
VI. Changement de base
Définition 11.
Deux matricesA, A0∈ Mn(R)sont dites semblables s’il existeP ∈ Mn(R)inversible telle queB=P−1AP.
Théorème 25.
SoitEun espace vectoriel de dimension finie,BetB0deux bases deE, etPB,B0la matrice de passage deBàB0. Soitf un endomorphisme deE, etM =matB(f),M0=matB0(f).
Alors, M0=P−1M P.
Exemple 16.
f : M2,1(R)−→ M2,1(R) x
y
!
7−→ 2x−y 4x−3y
! , à réécrire dans la baseB0= ( 1
1
! , 1
4
!) .
Exemple 17.
f(P)(X) = (X+ 1)P0(X) +P(X), dans la base (1, X+ 1,(X+ 1)2).
Théorème 26.
Deux matrices sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endomorphisme dans deux bases deE.
Théorème 27.
Soit(A, B)∈(Mn(R))2deux matrices semblables, etPune matrice inversible telle queB=P−1AP. Alors :
∀k∈N, Bk=P−1AkP
Démonstration.
On raisonne par récurrence surk∈N.
— initialisation : On aP−1A0P=P−1InP =P−1P =In=B0
— hérédité : On suppose que pour un rangk∈Ndonné, on a Bk=P−1AkP. On a alors : Bk+1=BkB=P−1AkP P−1AP =P−1AkInAP =P−1AkAP =P−1Ak+1P.
— hérédité : Par principe de récurrence, on a ∀k∈N, Bk=P−1AkP. Remarque.
On utilise ce théorème pour calculer des puissances de matrices, par l’intermédiaire de matrices diagonales ou triangulaires, dont les puissances sont faciles à calculer (formule du binôme par exemple).
