Seconde 1 Exercices sur le chapitre 8 : E3. 2007 2008
E3 Démonstrations.
Théorème :
Soit f une fonction affine.
Alors l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable.
Et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur.
Démonstration :
Soit f la fonction affine définie sur par f ( x ) = m x + p avec m et p deux nombres réels.
Soient x1 et x2 deux nombres réels.
Alors f ( x1 ) et f ( x2 ) sont leurs images par la fonction f.
L'accroissement de l'image est donc f ( x1 ) − f ( x2 ).
Or f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( m x1 + p ) − ( m x2 + p ) = m x1 + p − m x2 − p = m x1 − m x2 = m ( x1 − x2 )
Ainsi l'accroissement de l'image ( c'est à dire f ( x1 ) − f ( x2 ) ) est proportionnel à l'accroissement de la variable ( c'est à dire x1 − x2 ).
Et le coefficient de proportionnalité est égal à m =
2 1
2 1
x x
) x ( f ) x ( f
−
− avec x1≠ x2.
Or m c'est aussi le coefficient directeur.
Donc le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient directeur.
Réciproque :
Soit f une fonction de dans .
Si l'accroissement de l'image est proportionnel à l'accroissement de la variable alors la fonction f est une fonction affine.
Démonstration :
Soit f une fonction définie sur .
Je suppose qu' il existe un réel m tel que pour tous les réels distincts x1 et x2 , on ait f ( x1 ) − f ( x2 ) = m ( x1 − x2 ) En particulier, je choisis x1 = x et x2 = 0.
Alors f ( x ) − f ( 0 ) = m ( x − 0 ) = m x ⇔ f ( x ) = m x + f ( 0 ).
On retrouve l'expression d'une fonction affine avec p = f ( 0 ) étant l'ordonnée à l'origine.
