! "#$ ! " #% & '() 1. Soit f la fonction définie par f(x) 2
3x3 3
2x2 7x 11
•••• f est un polynôme donc définie sur .
•••• Limites : à l infini, la limite d un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim
x f(x) lim
x
23x3 et lim
x f(x) lim
x
23 x3
•••• Dérivée, signe de la dérivée et variations de f :
f est un polynôme donc dérivable sur et x , f (x) 2x2 3x 7
f est un polynôme de degré 2. Son discriminant est ( 3)2 4 2 7 47 0 donc f n admet pas de racine réelle et est du signe de a 2 donc strictement positif sur .
Par conséquent, f est strictement croissante sur . D où le tableau de variations de f :
x −∞ +∞
signe de f ′ +
f +∞
−∞
2. Soit g la fonction définie par g(x) x3 5
2x2 2x 7
•••• g est un polynôme donc définie sur .
•••• Limites : à l infini, la limite d un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim
x g(x) lim
x x3 et lim
x g(x) lim
x x3
•••• Dérivée, signe de la dérivée et variations de g :
g est un polynôme donc dérivable sur et x , g (x) 3x2 5x 2
g est un polynôme de degré 2. Son discriminant est ( 5)2 4 3 2 0 donc g admet deux racines réelles distinctes x1 5 1
6 1 et x2 5 1
6 2
3 et g est du signe de a 3 donc positif à l extérieur de ses racines.
D où le tableau de signes de g :
x −∞ 23 1 +∞
g (x) + 0 - 0 +
Ainsi,
g (x) 0 x 2 3 1
g (x) 0 x 2
3 ]1 [
g (x) 0 x 2
3 ou x 1
Par conséquent, g est strictement croissante sur 2
3 , strictement décroissante sur 2 3 1 et strictement décroissante sur [1 [.
! "#$ ! " #% & )() D où le tableau de variations de g:
g 23 23 3 5 2 23
2 2 2
3 7 203
27 et g(1) 15 2
x −∞ 23 1 +∞
signe de g ′ + − +
203
27 +∞
g
−∞ 152
3. Soit h la fonction définie par h(x) 1
3x3 2x2 4x 1
•••• h est un polynôme donc définie sur .
•••• Limites : à l infini, la limite d un polynôme est celle de son terme de plus haut degré donc lim
x h(x) lim
x
1
3x3 et lim
x h(x) lim
x
13x3
•••• Dérivée, signe de la dérivée et variations de h :
h est un polynôme donc dérivable sur et x , h (x) x2 4x 4 (x 2)2 Ainsi, h (x) 0 x ] 2[ ]2 [
h (x) 0 x 2
Par conséquent, h est strictement croissante sur . D où le tableau de variations de h :
x −∞ +∞
signe de h ′ +
h +∞
−∞
