0.2 Méthodes pour étudier des suites définies par une relation de récurrence où f est croissante strictement

,

Synthèse suites et séries

0.1 Comparaison des suites réelles

Définition 0.1(Négligeabilité).

Soientuetvdeux suites réelles.

On dit queuest négligeable devantv, et on noteu_n=o(v_n) ouu=o(v), s’il existe un entiern₀et une suite (²n)_n≥n0 définie à partir du rangn₀qui converge vers 0, telle que :∀n≥n₀,u_n=²nv_n.

Théorème 0.1(Caractérisation).

Si à partir d’un certain rang v_n6=0alors on a l’équivalence suivante : u est négligeable devant v : u_n=o(v_n)ssi¡

n→+∞lim u_n v_n =0¢

.

Propriétés 0.2.

• Si u_n=o(v_n)et v_n=o(w_n)alors u_n=o(w_n).(Transitivité)

• Si un=o(vn),∀λ∈R^∗, on a alors un=o(λvn).(multiplication par un scalaire)

• Si un=o(wn)et vn=o(wn), alors∀(a,b)∈R²,aun+bvn=o(wn).(Combinaisons linéaires)

• Si un=o(wn)et vn=o(tn), alors unvn=o(wntn).(produit)

• Si u et v sont non nulles alors u=o(v)⇒1 v =o(1

u).(inverse)

• Si u_n=o(v_n)et lim

n→+∞v_n=b alors(u_n+v_n)est convergente vers b.

• Si(v_n)converge et si u_n=o(v_n), alors(u_n)converge vers0.

Théorème 0.3(Négligeabilités usuelles : croissances comparées).

On a les comparaisons suivantes au voisinage de+∞: (un<<vnsignifie un=o(vn))

∀(α,β,γ)∈[0,+∞[×[0,+∞[×]1,+∞[, (lnn)^α<<n^β<<γⁿ<<n!

ou encore

•∀γ>1,γⁿ=o(n!)

•∀γ>1,∀α>0,n^α=o(γⁿ)

•∀β>0,∀α>0, (lnn)^β=o(n^α)

•∀γ∈]−1, 1[,γⁿ=o¡ 1 n^α

¢

Définition 0.2(Equivalence).

Soientuetvdeux suites réelles.

uest équivalente àv:un∼vnouu∼vs’il existe un entiern₀et une suite (²n)n≥n₀définie à partir du rangn₀qui converge vers 1, telle que :∀n≥n₀,un=²nvn.

Théorème 0.4(Caractérisation).

Si à partir d’un certain rang v_n6=0alors on a l’équivalence suivante : u est équivalent à v : un∼vnssi¡

nlim→+∞

un

v_n =1¢ .

Attention la notationun∼0 n’a aucun sens !

Propriétés 0.5.

• Si un∼vnalors vn∼un.

• Si un∼vnet vn∼wnalors un∼wn. (transitivité)

• Si un∼vnet rn∼snalors unrn∼vnsn. (produit)

• Si u_n∼v_net r_n∼s_nalorsu_n s_n ∼v_n

s_n. (quotient)

• Si un∼vnalors pour tout entier naturel k, on a u_n^k∼v_n^k.

• Si u_n∼v_net v_n>0, u_n>0à partir d’un certain rang alors∀α∈R, u^α_n∼v_n^α. (puissance)

• Si u_n∼v_nalors|u_n| ∼ |v_n|.(valeur absolue)

• Si(u_n)converge vers une réel`6=0alors u<sub>n</sub>∼`.(limite) Théorème 0.6.

Deux suites équivalentes u et v sont de même nature.

Soitkun entier naturel donné,∀k∈N,¡_n

k

¢∼n^k k!. Savoir le retrouver et savoir donner la limite de

¡_n

k

¢

n^k quandntend vers+∞. Remarques.

• ATTENTION la relation d’ équivalence∼n’est pas compatible avec l’addition :

• la relation d”equivalence∼n’est pas compatible avec la composition par les fonctions exp et ln.

• Siu_n∼v_netw_n=o(v_n) alors (u_n+w_n)∼v_n.

• La notion d’équivalence est fondamentale, d’une part pour trouver des limites de suite à priori indéterminées, et, d’autre part, pour l’étude de la convergence d’un grand nombre de séries.

Théorème 0.7(Equivalents usuelles ).

Soit une suite(u_n)telle que lim

n→+∞u_n=0, alors on a les équivalents suivants :

ln(1+un)∼un, e^un−1∼un, (1+un)^α∼1+αun

Avec les suites "polynômes" si a_k6=0:

a₀+a₁n+ · · · +a_kn^k∼a_kn^k

0.2 Méthodes pour étudier des suites définies par une relation de récurrence où f est croissante strictement

Soitf une fonction continue sur un intervalleIetu0∈Ifixé. On considère la suite définie par la donnée deu0et la relation un+1=f(un).

0.2.1 Le plan classique

1. Étudier la fonctionf sur un certain intervalle : faire son tableau de variations soigneusement avec toutes les justifi- cations ! La fonctionf est strictement croissante (ce qu’il faut prouver rigoureusement)

2. Montrer par récurrence que la suite (u_n) est bien définie et vérifie un encadrement ou une comparaison (u_n∈[a,b]

ouu_n≥apar exemples)

3. Étudier le sens de variation deunpar récurrence grâce à la stricte croissance def.

4. Utiliser comme il faut le théorème de CV monotone pour voir siu_nconverge. Deux cas de figure se présentent.

• Soit on peut appliquer le thme de CV monotone et doncu_n CV vers un certain réel`qui vérifie l’encadrement large deun (siun∈]a,b[ alors`∈[a,b] ou siun≥aalors`>^aetc..). Il faut donc ensuite appliquer le théorème du point fixe : ATTENTION À LA RÉDACTION.

unCV vers`qui est dans un certain intervalle,f est continue sur cet intervalle donc en`donc d’après le thme du point fixe,`vérifie l’équationf(`)=`.

On résout l’équation en tenant compte des contraintes sur`et on donne ainsi la limite deun.

• Soit on ne peut pas appliquer le thme de CV monotone (on a justeuncroissante et minorée par exemple). Là aussi deux cas se présentent suivant le type de question posée :

· On raisonne par l’absurde : siu_nCV vers`alors commef est continue en`, d’après le thme du point fixe,` vérifie l’équationf(`)=`.

On résout l’équation en tenant compte des contraintes sur le point fixe et suru_n: en général on aboutit à une contradiction (u_ncroissante etu₀>^aet`∈]0,a[ par exemple).

On conclut paru_ndiverge vers+∞.

· On arrive à majoreru_net on est ramené au cas où on peut appliquer le thme de CV monotone.

5. Programme scilab demandant :

• programme déterminant le premier entierntel que

//u_n>a, oùaest un réel donné etuune suite de limite+∞.

• Si (u_n) suite définie par récurrence, convergente vers`, on demande la plus petite valeur dentelle que|u<sub>n</sub>−`| <r oùrest saisi en entrée.

• La suite étant définie par une relationu_n+1=f(u_n),on peut utiliser une boucle for pour calculer leNème terme de la suite :u_N.

0.3 Méthodes pour étudier des suites définies par une relation de récurrence où f est décroissante strictement

Soitf une fonction continue sur un intervalleIetu₀∈Ifixé. On considère la suite définie par la donnée deu₀et la relation u_n+1=f(u_n).

0.3.1 Le plan classique

1. Étudier la fonctionf sur un certain intervalle : faire son tableau de variations soigneusement avec toutes les justifi- cations ! La fonctionf est strictement décroissante (ce qu’il faut prouver rigoureusement).

2. On a trouvé un ou des points fixes pourf noté`ouαpar exemples.

3. Montrer par récurrence que la suite (u_n) est bien définie et vérifie un encadrement ou une comparaison (u_n∈[a,b]

ouu_n≤apar exemples).

4. On ne peut plus étudier le sens de variation deu_npar récurrence car stricte décroissance def. Il y a alors deux méthodes :

• IAF : on rappelle quef est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ (ou mieux parfois dérivable sur [a,b]) avec

∀x∈]a,b[,|f⁰(x)|6^qavecq∈]−1, 1[).

On vérifie bien queu_n,`∈[a,b] alors on a :∀n∈N,|u<sub>n+1</sub>−`| = |f(u_n)−f(`)| ≤q|u<sub>n</sub>−`|. On montre alors par récurrence surnque∀n∈N,|u_n−`| ≤q<sup>n</sup>|u<sub>0</sub>−`|.

On conclut par le théorème d’encadrement car lim

n→+∞qⁿ=0.

• : Ou alors on étudie la convergence de ces deux sous-suites :vn=u2netwn=u2n+1.

On montrera quevn+1=f ◦f(vn) et quewn+1=f◦f(wn). Car alorsf◦f est strictement croissante ! On est alors ramené à la première méthode pour étudier ces deux sous-suites.

L’une sera croissante et majorée, l’autre décroissant et minorée. Elles seront donc convergentes vers`=f ◦f(`).

Conclure sur la convergence de la suiteuvers`.

5. Programme scilab demandant une valeur approchée de`tq :|un−`| <(q)ⁿ<roùrest saisi en entrée.

0.4 Méthodes pour étudier des suites définies par une relation de la forme f

(u

) = 0

0.4.1 Le plan classique

1. On étudie la fonctionfnsoigneusement notamment sa stricte monotonie.

2. On prouve l’existence deununique solution à l’équationfn(un)=0 grâce au théorème de la bijection.

3. On montre queun∈[a,b] en calculantfn(a),fn(b) et aux théorème des valeurs intermédiaires et de la bijection.

4. On étudie le sens de variation deungrâce au signe de :fn+1(x)−fn(x) et en prenantun=x(si on est dans le même intervalle) on a :fn+1(un) etfn(un)=fn+1(un+1)=0, on conclut avec le fait quefnest une bijection strictement mo- notone.

5. Pour majorer ou minoreru_ncomparerf_n(u_n)=0 etf_n(u_n+1), utiliser aussi le fait queu_n∈[a,b].

6. Pour prouver la convergence de (u_n) vers`, on utilise le thme de CV monotone en général. On n’oublie pas de préciser que`∈[a,b] siu_n∈[a,b].

7. Souvent on demande de calculer la valeur de`et de donner un équivalent àu<sub>n</sub>ou àu<sub>n</sub>−`. Voir DM1 : ESSEC II + EDHEC 1997.

0.5 Les suites définies à l’aide de fonctions réciproques

0.5.1 Le plan classique

1. On étudie la fonctionfnsoigneusement notamment sa stricte monotonie.

2. On prouve l’existence deun unique solution à l’équationf(un)=ngrâce au théorème de la bijection. On cherche à étudier la suite (un).

3. Les outils : commef réalise une bijection deIsurf(I), elle admet une réciproquef⁻¹.

Sif est continue strictement monotone surI,f⁻¹est continue et strictement monotone surf(I), de même monoto- nie quef, et les limites sont données par les bornes deI.

Alors pour toutn,u_n=f⁻¹(n) et la monotonie def⁻¹permet d’obtenir celle de (u_n) caru_n+1=f⁻¹(n+1) etu_n= f⁻¹(n).

4. La limite de (u_n) est celle def⁻¹en l’infini : lim

n→+∞u_n= lim

n→+∞f⁻¹(n).

5. On demande en général un équivalent simple deunlorsquentend vers l’infini, obtenu souvent grâce à un encadre- ment.

0.6 Séries à termes positifs

Propriété 0.8(Séries à termes positifs).

Si∀n≥0un≥0,alors la série P

n≥0

unest convergente ssi la suite(Sn)est majorée.

Sinon, la suite (S_n)tend vers+∞et P

n≥0

u_n= +∞.

Théorème 0.9(Critère de comparaison).

Soient P

n≥0

u_net P

n≥0

v_ndeux séries à termes positifs telles qu’à partir d’un certain rang :0≤u_n≤v_n. 1. Si P

n≥0

v_nconverge, alors P

n≥0

u_nconverge.

2. Si P

n≥0

u_ndiverge, alors P

n≥0

v_ndiverge.

Théorème 0.10(Critère de négligeabilité).

Soient P

n≥0

unet P

n≥0

vndeux séries à termes positifs telles que un=o(vn).

1. Si P

n≥0

v_nconverge, alors P

n≥0

u_nconverge.

2. Si P

n≥0

u_ndiverge, alors P

n≥0

v_ndiverge.

Théorème 0.11(Critère d’équivalence).

Soient P

n≥0

unet P

n≥0

vndeux séries à termes positifs.

Si u_n∼v_n, alors les deux séries P

n≥0

u_net P

n≥0

v_nsont de même nature.

0.6.1 Convergence absolue

Définition 0.3(Convergence absolue).

La série P

n≥0

u_nest absolument convergente lorsque la série P

n≥0|u_n|converge.

Théorème 0.12(Convergence absolue et convergence).

Toute série absolument convergente est convergente.

Si une série est absolument convergente, alors on ne change ni sa nature, ni sa somme, en changeant l’ordre de sommation de ses termes.

0.7 Séries numériques usuelles

0.7.1 Séries géométriques et séries géométriques dérivées

Proposition 0.13.

La série P

n≥0

qⁿest convergente ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=0

qⁿ= 1 1−q. Généralisation : la série P

n≥pqⁿest convergente ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=pqⁿ= q^p 1−q. Proposition 0.14(Convergence des séries géométriques dérivées première et deuxième).

1. La série P

n≥1

nqⁿ⁻¹converge ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=1

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)². 2. La série P

n≥2

n(n−1)qⁿ⁻²converge ssi|q| <1et dans ce cas^+∞P

n=2

n(n−1)qⁿ⁻²= 2 (1−q)³. 1. Convergence de la série P

n≥0

nqⁿ.

nqⁿ=q(nqⁿ⁻¹) etq6=0 donc les séries de terme général (nqⁿ) et (nqⁿ⁻¹) sont de même nature (cf opérations sur les séries).

Et si|q| <1, cas de convergence, on a^+∞P

n=0

nqⁿ=q µ_+∞

P

n=1

nqⁿ⁻¹

¶

= q

(1−q)². 2. Convergence de la série P

n≥0

n²qⁿ.

∀n≥0,n²qⁿ=[n(n−1)+n]qⁿ=q²[n(n−1)qⁿ⁻²]+nqⁿ. Or si|q| <1, les séries P

n≥0

n(n−1)qⁿ⁻²et P

n≥0

nqⁿ sont convergentes (d’après la proposition et ce qui précède) donc (opérations sur les séries) la série P

n≥0

n²qⁿconverge et

+∞P

n=0

n²qⁿ=q² 2

(1−q)³+ q

(1−q)²=2q²+q(1−q)

(1−q)³ =q(q+1) (1−q)³. Si par contre,|q| ≥1, cette série diverge carn²qⁿ_n9

→+∞0.

Proposition 0.15(Série exponentielle).

Pour tout nombre réel x,la série exponentielle P

n≥0

xⁿ

n! est convergente et^+∞P

n=0

xⁿ n! =e^x. Proposition 0.16(Série de Riemann).

P

n≥1

1

n^α converge ssiα>1.

0.7.2 Comparaison avec une intégrale : le principe

Soitf une fonction deR+dansRdécroissanteetu_k=f(k).

On a alors par décroissance def : pour toutk∈N, pour toutt∈[k;k+1],f(k+1)≤f(t)≤f(k).

On intègre cette inégalité (les bornes étant croissantes) sur [k,k+1] : Z k+1

k

f(k+1)d t≤ Z k+1

k

f(t)d t≤ Zk+1

k

f(k)d t On calcule en n’oubliant pas quekest une constante :

f(k+1)£ t¤k+1

k ≤

Z k+1 k

f(t)d t≤f(k)£ t¤k+1

k

Ce qui donne :

u_k+1≤ Z k+1

k

f(t)d t≤u_k On somme les termes de cet encadrement pourkallant de 0 àn−1 :

n−1

X

k=0

u_k+1≤

n−1X

k=0

Z _k+1

k

f(t)d t≤

n−1X

k=0

u_k

On utilise ensuite la relation de Chasles pour le membre du milieu dans cette inégalité, et un changement d’indice sur la première somme :

n

X

k=1

u_k=S_n−u₀≤ Z n

0

f(t)d t≤S_n−u_n

On peut ensuite renverser la relation, en pensant à couper l’encadrement en deux inégalités distinctes qu’on traite diffé- remment.

-l’inégalité de gauche donne :

S_n≤ Z n

0

f(t)d t+u₀ -l’inégalité de droite donne :

Sn≥ Z n

0

f(t)d t+un

On rassemble tout cela : on utilise ensuite la relation de Chasles pour le membre du milieu dans cette inégalité, et un changement d’indice sur la première somme :

Zn 0

f(t)d t+u_n≤S_n≤ Z n

0

f(t)d t+u₀

Cette méthode permet de ramener l’étude de la convergence d’une série à l’étude d’une intégrale. Or, s’il y a très peu de méthodes pour calculer des sommes (télescopages, séries géométriques et c’est tout !), il y en a de nombreuses pour les intégrales (primitivation directe, intégration par parties, changement de variables). Voir la preuve pour la série de Riemann