() () () DEVOIR A LA MAISON N°7. TS2.

DEVOIR A LA MAISON N°7. TS2.

Pour le lundi 4 décembre 2017.

I. f est la fonction définie sur par f( x) x

³

3x ² 5x 4.

1. Const rui re l e t abl eau de variat ion de l a foncti on f sur . 2. ( ^u

ⁿ

est la suite définie sur par ) _ ^

 u

0

3

u

_{n 1}

u

_n ³

3u

_n ²

5u

_n

4 . Montrer que la suite ( ^u

ⁿ

est )

croissante.

3. Déterminer le sens de variation de la suite ( ^v

n

définie sur par ) _ ^

 v

0

1 v

n 1

v

n

3

3v

n

2

5 v

n

4

II. On considère la fonction f définie sur ]− ; 6[ par f( x)= 9 6− x On définit pour tout entier naturel n la suite (U

n

) par

⁰1

 

3

n n

U

U

_

f U

  

 

 .

On considère la suite (V

_n

) définie par V

_n

= 1

U

_n

−3 pour tout entier naturel n.

1. Démontrer que la suite (V

_n

) est une suite arithmétique de raison 1 3 ..

2. Déterminer V

_n

puis U

_n

en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite (U

_n

).

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°8. TS2

I. f est la fonction définie sur par f( x) x

³

3x ² 5x 4.

1. f est une fonction polynôme donc elle est définie et dérivable sur . Pour tout réel x , f′( x) 3 x² 6 x 5.

Etudions le signe de f ( x) :

24 0 donc le trinôme n a pas de racine et il est toujours du signe de a 3 0 : Pour tout réel x , f ( x) 0. La fonction f est donc strictement croissante sur . 2. Montrons que, pour tout n de , u

_n

u

_{n 1}

.

Initialisation : pour n

0

0 : u

0

3 et u

1

11 donc u

0

u

1

.

Hérédité : soit p un entier 0 tel que u

p

u

p 1

. Montrons que u

p 1

u

p 2

. On a u

_p

u

_{p 1}

donc f ( ) ^u

p

f ( ^u

p 1

) car la fonction f est strictement croissante sur . c'est-à-dire u

p 1

u

p 2

.

Conclusion : pour tout n de , u

n

u

n 1

.

La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc strictement croissante.

3. A la calculatrice, la suite ( ) ^v

ⁿ

semble décroissante.

Montrons que, pour tout n de , u

n 1

u

n

.

Initialisation : pour n

0

0 : u

0

1 et u

1

1 donc u

1

u

0

.

Hérédité : soit p un entier 0 tel que u

p 1

u

p

. Montrons que u

p 2

u

p 1

. On a u

p 1

u

p

donc f ( ^u

^{p 1}

) ^f ( ) ^u

^p

car la fonction f est strictement croissante sur . c'est-à-dire u

p 2

u

p 1

.

Conclusion : pour tout n de , u

n 1

u

n

.

La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc strictement croissante.

II.

1. Soit n un entier naturel.

V

_{n 1}

1 u

n 1

3

1 9 6 u

n

3

= 1

9 18 3 u

n

6 u

_n

= 6 u

n

3 u

n

9 = 6 u

n

3 ( ^u

ⁿ

³ )

Alors V

n 1

V

n

6 u

_n

3 ( ^u

ⁿ

³ )

1 u

n

3

6 u

_n

3 3 ( ^u

ⁿ

³ )

( ^u

ⁿ

³ )

3 ( ^u

ⁿ

³ )

1 3 . La suite (V

_n

) est une suite arithmétique de raison ¹

 3 et de premier terme V

0

1 u

0

3

1 6 . 2. Pour tout n de , V

_n

= 1

6 1

3 n et u

n

1 V

n

3 = 1 1 6

n 3

3 = 6

2n 1 3 3. lim

n

2 n 1 donc lim

n

6

2n 1 0 donc lim

n

u

_n

3 : La suite ( ) ^u

ⁿ

converge vers 3.