a) Soit f la fonction définie sur

(1)

MPSI 1 L ycée Thiers 2006/2007 TP Maple n° 5 Gr aphiques

I ^{Exercice 1} ^- Graphes de fonctions

a) Soit f la fonction définie sur

R

\ {1} par f (x) = Arctan

µ

1 x −1

¶

. Tracer le graphe de f sur l’in- tervalle [−5, 6] en utilisant la commande plot .

On pourra utiliser l’option scaling=constrained pour obtenir un repère orthonormal (faire ?plot[option] pour voir toutes les options disponibles).

b) Soit p la fonction polynomiale définie sur

R

par p(x ) = 8x

⁵

− 32x

⁴

− 2x

³

+ 110x

²

− 65x − 38.

Tracer le graphe de p sur un intervalle contenant [−2, 2]. Donner toutes les racines exactes et approchées de p entre −2 et 2.

On pourra utiliser les commandes solve (résolution exacte) et fsolve (résolution appro- chée).

I ^{Exercice 2} ^- Plusieurs graphes en même temps

a) Tracer simultanément les représentations graphiques des fonctions sinus et x 7→ x − x

³

6 en utilisant la liste [sin(x),x-x^3/6] et la fonction plot .

b) Charger la bibliothèque plots puis tracer à nouveau les deux représentations graphiques à l’aide de la fonction display (très pratique).

I ^{Exercice 3} ^- Une étude de fonction

On considère la fonction f définie par f (x) = x

²

− 2

p

8x

²

+ 4x − 17

.

a) Déterminer l’ensemble de définition de f .

On pourra résoudre une inéquation à l’aide de la fonction solve . b) Calculer la dérivée de f à l’aide de la fonction diff ou de la fonction D .

c) Déterminer le signe de f

⁰

à l’aide de la fonction solve . En déduire les variations de f . d) Déterminer les éventuelles asymptotes obliques de la courbe de f en utilisant la fonction

limit .

e) Tracer le graphe de f avec ses asymptotes.

I ^{Exercice 4} ^- Une famille de fonctions

a) Charger la bibliothèque plots à l’aide de la commande with(plots) . Utiliser la com- mande animate pour tracer la famille des courbes y = x

^a

pour x variant entre 0 et 2 et a variant entre

¹₂

et 2. Autrement dit le première courbe est celle de la fonction x 7→ p

x et la dernière celle de x 7→ x

²

.

b) Augmenter le nombre d’images intermédiaires grâce à l’option frames=100 ^.

c) Utiliser les divers boutons pour avancer image par image, en marche arrière, modifier la vitesse, etc.

I ^{Exercice 5} ^- ^Courbes

a) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes par

¡

x(t), y(t )

¢

avec t ∈ [a, b] on utilise l’instruction plot([x(t),y(t),t=a..b]) . Tracer par exemple l’astroïde définie par

(

x(t) = cos

³

(t ) y(t) = sin

³

(t) .

b) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées polaires par

¡

ρ(t),θ(t

)

¢

avec t ∈ [a, b], on utilise l’instruction polarplot([rho(t),theta(t),t=a..b]) (la fonction polarplot appartient à la bibliothèque plots ). Tracer par exemple la courbe définie par

(ρ

(t) = cos(t )

θ(t

) = sin(t) .

c) Dans le cas d’une courbe définie par une équation polaire du type

θ

7→

ρ

(

θ

) avec

θ

∈ [a, b], on utilise l’instruction polarplot(rho(theta),theta=a..b]) . Tracer par exemple la car- dioïde définie par

ρ

(

θ

) = 1 + cos(

θ

) ainsi que le sprirale d’Archimède définie par

ρ

(

θ

) =

θ

. d) Pour tracer une courbe définie par une équation implicite, on utilise la fonction

implicitplot (de la bibliothèque plots ). Tracer par exemple l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation x

⁴

+ y

⁴

= 1.

I Exercice 6 - Pentagone régulier

Soit A et B deux points du plan et notons (x

_A

, y

_A

) et (x

_B

, y

_b

) leurs coordonnées dans un repére orthonormal fixé. Pour tracer le segment [A, B] on utilise l’instruction plot([[xA,yA],[xB,yB]]) .

a) Tracer le triangle ABC avec A(2, 1), B(0, 4) et C(−1,−2). Deux méthodes sont possibles : – tracer les trois segments séparément puis utiliser la fonction display ^;

– tracer directement cette ligne polygonale en donnant la liste des coordonnées des points.

b) Tracer sur un même graphe un pentagone régulier ainsi que le cercle dans lequel il est ins- crit (avec des couleurs différentes).

I Exercice 7 - Cycloïde

La cycloïde est la courbe paramétrée donné par

½

x(t ) = t − sint y(t ) = 1 − cost

a) Tracer cette courbe pour t ∈ [0,T ] avec T = 15.

b) Construire une animation de paramètre t ∈ [0,T ] dont le graphique au temps t est constitué du cercle de rayon 1 et de centre (t, 1). On utilisera l’option frames=100 pour obtenir une animation plus fluide.

c) Construire une animation de paramètre t ∈ [0,T ] dont le graphique au temps t est constitué du cercle de rayon

ε

= 0.08 et de centre (x (t ),y(t )).

d) Construire une animation de paramètre t ∈ [0,T ] dont le graphique au temps t est constitué du morceaux de cycloïde délimité par les points (0, 1) et (x (t ),y(t)).

a) Soit f la fonction définie sur

MPSI 1 L ycée Thiers 2006/2007 TP Maple n° 5 Gr aphiques

I Exercice 1 - Graphes de fonctions

a) Soit f la fonction définie sur

\ {1} par f (x) = Arctan

1

x −1

. Tracer le graphe de f sur l’in- tervalle [−5, 6] en utilisant la commande plot .

On pourra utiliser l’option scaling=constrained pour obtenir un repère orthonormal (faire ?plot[option] pour voir toutes les options disponibles).

b) Soit p la fonction polynomiale définie sur

par p(x ) = 8x

− 32x

− 2x

+ 110x

− 65x − 38.

Tracer le graphe de p sur un intervalle contenant [−2, 2]. Donner toutes les racines exactes et approchées de p entre −2 et 2.

On pourra utiliser les commandes solve (résolution exacte) et fsolve (résolution appro- chée).

I Exercice 2 - Plusieurs graphes en même temps

a) Tracer simultanément les représentations graphiques des fonctions sinus et x 7→ x − x

6 en utilisant la liste [sin(x),x-x^3/6] et la fonction plot .

b) Charger la bibliothèque plots puis tracer à nouveau les deux représentations graphiques à l’aide de la fonction display (très pratique).

I Exercice 3 - Une étude de fonction

On considère la fonction f définie par f (x) = x

− 2

8x

+ 4x − 17

.

a) Déterminer l’ensemble de définition de f .

On pourra résoudre une inéquation à l’aide de la fonction solve . b) Calculer la dérivée de f à l’aide de la fonction diff ou de la fonction D .

c) Déterminer le signe de f

à l’aide de la fonction solve . En déduire les variations de f . d) Déterminer les éventuelles asymptotes obliques de la courbe de f en utilisant la fonction

limit .

e) Tracer le graphe de f avec ses asymptotes.

I Exercice 4 - Une famille de fonctions

a) Charger la bibliothèque plots à l’aide de la commande with(plots) . Utiliser la com- mande animate pour tracer la famille des courbes y = x

pour x variant entre 0 et 2 et a variant entre

et 2. Autrement dit le première courbe est celle de la fonction x 7→ p

x et la dernière celle de x 7→ x

.

b) Augmenter le nombre d’images intermédiaires grâce à l’option frames=100 .

c) Utiliser les divers boutons pour avancer image par image, en marche arrière, modifier la vitesse, etc.

I Exercice 5 - Courbes

a) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées cartésiennes par

x(t), y(t )

avec t ∈ [a, b] on utilise l’instruction plot([x(t),y(t),t=a..b]) . Tracer par exemple l’astroïde définie par

x(t) = cos

(t ) y(t) = sin

(t) .

b) Pour tracer une courbe paramétrée en coordonnées polaires par

)

avec t ∈ [a, b], on utilise l’instruction polarplot([rho(t),theta(t),t=a..b]) (la fonction polarplot appartient à la bibliothèque plots ). Tracer par exemple la courbe définie par

(t) = cos(t )

) = sin(t) .

c) Dans le cas d’une courbe définie par une équation polaire du type

7→

(

) avec

∈ [a, b], on utilise l’instruction polarplot(rho(theta),theta=a..b]) . Tracer par exemple la car- dioïde définie par

(

) = 1 + cos(

) ainsi que le sprirale d’Archimède définie par

(

) =

. d) Pour tracer une courbe définie par une équation implicite, on utilise la fonction

implicitplot (de la bibliothèque plots ). Tracer par exemple l’ensemble des points du plan vérifiant l’équation x

+ y

= 1.

I Exercice 6 - Pentagone régulier

Soit A et B deux points du plan et notons (x

, y

) et (x

, y

) leurs coordonnées dans un repére orthonormal fixé. Pour tracer le segment [A, B] on utilise l’instruction plot([[xA,yA],[xB,yB]]) .

a) Tracer le triangle ABC avec A(2, 1), B(0, 4) et C(−1,−2). Deux méthodes sont possibles : – tracer les trois segments séparément puis utiliser la fonction display ;

– tracer directement cette ligne polygonale en donnant la liste des coordonnées des points.

b) Tracer sur un même graphe un pentagone régulier ainsi que le cercle dans lequel il est ins- crit (avec des couleurs différentes).

I Exercice 7 - Cycloïde

La cycloïde est la courbe paramétrée donné par

x(t ) = t − sint y(t ) = 1 − cost

a) Tracer cette courbe pour t ∈ [0,T ] avec T = 15.

I ^{Exercice 1} ^- Graphes de fonctions

I ^{Exercice 2} ^- Plusieurs graphes en même temps

I ^{Exercice 3} ^- Une étude de fonction

I ^{Exercice 4} ^- Une famille de fonctions

b) Augmenter le nombre d’images intermédiaires grâce à l’option frames=100 ^.

I ^{Exercice 5} ^- ^Courbes

a) Tracer le triangle ABC avec A(2, 1), B(0, 4) et C(−1,−2). Deux méthodes sont possibles : – tracer les trois segments séparément puis utiliser la fonction display ^;