PanaMaths Novembre 2008
Déterminer les primitives sur ; 2 2 π π
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎦
−
⎣de la fonction f définie par :
( ) tan112
cos f x x
= x
Analyse
L’expression de f x
( )
peut être récrite sous la forme d’un produit dont l’un des facteurs est une dérivée classique …Résolution
On a, pour tout réel x de l’intervalle : ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ :
( )
tan112 12 tan11cos cos
f x x x
x x
= = ×
On a ainsi fait apparaître la dérivée de la fonction tangente. On peut donc écrire :
( )
'( )
n( )
f x =u x ×u x
avec : u x
( )
=tanx et n=11.On en déduit alors que la fonction F définie par :
( )
1 12; , tan
2 2 12
x ⎤ π π⎡ F x x
∀ ∈ −⎥⎦ ⎢⎣ =
est une primitive de la fonction f sur ; 2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣.
Les primitives de la fonction f sur ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ sont donc les fonctions de la forme : 1 12
12tan
x6 x C+
Où C est une constante réelle quelconque.
PanaMaths Novembre 2008
Résultat final
La fonction
11 2
: tan cos f x x
6 x admet pour primitives sur ;
2 2
⎤−π π⎡
⎥ ⎢
⎦ ⎣ les fonctions définies par : 1 12
12tan
x6 x C+
Où C est une constante réelle quelconque.
