Soit f la fonction définie par

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www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:

Étudier la dérivabilité de f en x

:

0 0

1 / f ( x ) 2 x ² 3 x 1 x 1

2 / f ( x ) 1 2 x 1 x 1

2

   

    

Exercice 2:

Soit f la fonction définie par

x ² 2 x 3

f ( x ) si x 1

x ² 1

f ( x ) 2 mx ² 2 si 1 x 2

f ( x ) 2 x ² x 3 1 si x 2

 

  

 

    

     



1/ déterminer m pour que f soit continue en -1.

2/ pour la valeur de m trouver étudier la dérivabilité de f en 2 et en -1;

interpréter géométriquement les résultats trouver.

Exercice 3:

Soit f la fonction définie par

1/ déterminer le domaine de définition de f.

2/ déterminer

x x

lim f ( x ) et lim f ( x )

 

.

3/ étudier la dérivabilité de f en 2 et en -2; interpréter géométriquement les résultats obtenus.

Exercice 4 ;

1) f est la fonction définie sur [0; [ par f(x)=x+ x a) Etudier la dérivabilité de f en 0

b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant f admet-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?

2)g est la fonction définie sur [0; [ par g(x)= x² x a) Etudier la dérivabilité de g en 0

b) Dans un repère orthogonal, la courbe représentant g admet-elle une tangente au point d’abscisse 0

Exercice 5 :

Une fonction f dérivable sur I=[–2;4 ] est représentée ci-contre.

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Déterminer graphiquement :

f (1) et f ’(1) ; f (4) et f ’(4) ; f (–1) et f ’(–1)., f (–2) et f ’(–2) ; f (0) et f ’(0).

Donner une équation cartésienne des tangentes à C aux points d’abscisse – 2 et 0.

Exercice 6 :

Soit la fonction f définie sur IR telle que f (–1)=2 et f ’(–1)=¹ 4

Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse –1

Exercice 7:

Déterminer le domaine de dérivabilité de f ainsi que sa fonction dérivée:

1) f(x)=x³-3x²+2x-5

2) ( ) ^{1 4 3 5}

2 3

f x  x x  x 3) f x( ) 2 ³

 x

4) ( ) ^{² 3 1}

5

x x

f x   

5) ^{f x( )}





x

 

    

 

6) f(x)=x x

7) ( ) ¹

8 5

f x  x

 

8) ( ) ⁷

f x 6

 x



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9) f x( ) ¹₆

 x

10) ( ) ^{3 1}

4 2

f x x x

 



11) ( ) ^{² 7 10}

2(1 )

x x

f x x

 

 

12) f(x)=(3x+2)² 13) f(x)=(-5x+2)⁷ 14) f x( ) 3x 1 15) f x( )8 3x 16) ( )

2 1

f x x

 x

 17) f(x) = xcosx-2sinx 18) ( ) ^sinx

f x  x

Exercice 8:

Fonction f Dérivée f' Intervalle(s)

f(x) = x⁵ - 4x³ + 2x² + 1 f'(x) =

f(x) = 2x + 1 + 1

x f'(x) =

f(x) = 2x² - 4

3x + 4 f'(x) =

f(x) = (3 - 2x²) x f'(x) =

f(x) = 5x - 3

x f'(x) =

f(x) = sin(1 - 3x) f'(x) =

f(x) = cos





x + 1

x f'(x) =

f(x) = 3x² + 2x + 5 f'(x) =

f(x) = (8x² - 5x + 4)³ f'(x) =

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f(x) = 1

3x - 5 f'(x) =

f(x) = 1

9x² - 1 f'(x) =

f(x) = 1 - cos x

3 + sin x f'(x) =

f(x) = sin⁵ x f'(x) =

f(x) = 2x

3 - x f'(x) =

f(x) = 1

(x² - 1)⁵ f'(x) =

f(x) = 3 + 2sin² x f'(x) =

Exercice 9:

Fonction f Dérivée f' Intervalle(s)

f(x) = x⁶ + 3x⁴ - 5x² + 3 f'(x) =

f(x) = 3x - 5 + 1

x f'(x) =

f(x) = 3x² - 5

2x + 3 f'(x) =

f(x) = (2 - 3x²) x f'(x) =

f(x) = 3x - 7

x f'(x) =

f(x) = sin(1 - 2x) f'(x) =

f(x) = sin





x + 1

x f'(x) =

f(x) = 2x² + 3x + 4 f'(x) =

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f(x) = (6x² + 3x + 7)³ f'(x) =

f(x) = 1

5x - 3 f'(x) =

f(x) = 1

2x² - 1 f'(x) =

f(x) = 1 - sin x

3 + cos x f'(x) =

f(x) = cos⁵ x f'(x) =

f(x) = 3x

2 - x f'(x) =

f(x) = 1

(x² - 1)⁶ f'(x) =

f(x) = 2 + 3sin² x f'(x) =

Exercice 10:

On considère une fonction f dont la représentation graphique dans un repère orthonormal est donnée ci-dessous.

Parmi les trois représentations graphiques ci dessous, quelle est celle qui est susceptible de représenter la fonction dérivée de f ? Expliquer.

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Figure 1. Figure 2.

Figure 3.

Exercice 11:

On considère la fonction f définie par ( ) ^{² 7 10} 2(1 )

x x

f x x

 

 

1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Calculer f ' (x)

3) Dresser le tableau de variations de f

Exercice 12 :

Soit f la fonction définie et dérivable sur

l'intervalle [ – 1 ; 4] dont la représentation graphique, dans un repère orthonormal (O, i

, j

), est la courbe C donnée ci-dessous.

La droite (T) est la tangente à la courbe au point A.

La droite (T’) est la tangente à la courbe au point B.

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1. A partir des informations fournies par le graphique, compléter le tableau de valeurs ci- dessous.

x – 1

2 0 1

f(x)

f’(x) 1

2. Résoudre graphiquement dans [ – 1 ; 4] l’équation et l’ inéquation suivantes : a) f(x) = 11

4 b) f(x)  11 4

3. La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur l'intervalle [ – 1 ; 4].

En justifiant la réponse, donner le sens des variations de F.

4. g est la fonction inverse de f c’est à dire que g = 1

f et g’ est la fonction dérivée de g.

a. Montrer que g est définie sur l'intervalle [ – 1 ; 4].

b. Déterminer g(0) ; g(1) et g( 1 2 ) .

c. Quel est le sens des variations de la fonction g sur [ – 1 ; 4] ? Justifier la réponse donnée.

d. Déterminer les valeurs de g’(0) et g’(1).

Exercice 13 :

Soit f la fonction définie par f(x) = x² + 2x + 2.

1. Montrer que la fonction f est définie sur .

2. Ecrire f comme la composée de deux fonctions u et v.

3. Calculer f ’(x), et prouver que f ’(x) = x + 1 x² + 2x + 2. 4. En déduire le sens de variation de f.

5. Calculer lim

x  - f(x) et lim

x  + f(x).

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www.zribimaths.jimdo.com Page 8 Exercice 14:

On considère la fonction polynomiale f définie par f(x) = 3 x⁴ – 4 x³ – 6 x² + 12 x – 5.

On admet que lim

x – f(x) = +  et lim_{x +} f(x) = +  . 1. Calculer l’expression dérivée f’(x).

2. Vérifier que f’(x) = 12 (x – 1)² (x + 1).

3. En déduire les variations de f.

Construire le tableau de variation de f.

4. En déduire le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0

Exercice 15:

Soit f la fonction définie par f(x)=x  x . 1/ déterminer le domaine de dérivabilité de f.

2/ calculer s'il existe f '(1).

3/ soit g la fonction définie sur [0, 2

 [ par g(x)=fou(x) avec u(x)=tgx.

a) étudier la dérivabilité de u en 4

 .

b) En déduire que g est dérivable en 4

 et calculer g'(

4

 ).

Exercice 16:

Soit f la fonction définie par f(x)=x  x x² 1/ déterminer le domaine de continuité de f.

2/ a) étudier la dérivabilité de f à droite en 0 et à gauche en 1; interpréter géométriquement les résultats obtenus.

b) déterminer le domaine de dérivabilité de f.

c) calculer f'(x) pour tout x]0,1[.

3/ soit g la fonction définie sur [0, 2

 ] par g(x)=f(cosx).

Étudier la dérivabilité de g en 2

 et en 3



Exercice 17:

soit f la fonction définie sur [0,] par f(x)=

3 x 1 3cos

2  .

1) dresser le tableau de variations de f.

2) montrer que l’équation f(x)=x admet dans [0,] une solution unique  . vérifier que ]0,

2

 [.

3) soit la suite U définie sur IN par : 0 <U₀ <  et pour tout nIN ; U_n+1= f(U_n).

a) montrer que pour tout nIN on a : 0  U_n

2

 .

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3 .

c) montrer que pour tout x[0,] ; |f(x)-|

3

2 |x-|.

d) en déduire que pour tout nIN ; |U_n-|(

3

2)ⁿ|U₀-|.

Trouver alors _limUn

n .