Soit la fonction f définie sur \ par :

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Novembre 2013

Soit la fonction f définie sur \ par :

2 2

1 si 2

: 2

5 10 2

si 2

2

mx x

f x x

x x

x x

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩

− ≤

+

− + − − >

6

où m est un paramètre réel.

Pour quelle valeur de m la fonction f est-elle continue en 2 ?

Analyse

On revient à la définition de la continuité. La fonction f sera continue en 2 si, et seulement si, on a :

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

lim lim 2

x x

x x

f x f x f

→ →

< >

= = . On note alors que la fonction f, à gauche de 2, est une fonction rationnelle … A droite de 2, une analyse nous permet d’identifier une forme indéterminée dont la levée fait appel à une « technique » classique.

Résolution

Sur l’intervalle

]

^{−∞; 2}

]

, la fonction f est rationnelle. Elle y est donc continue et on a :

( ) ( )

₂

2 2

2 1 2 1

lim 2

2 2 6

x x

m m

f x f

→<

− −

= = =

+

Intéressons-nous maintenant à

( )

2 2

lim

x x

→ f x

>

.

La fonction x6x²−5x+10 est une fonction polynôme. Elle est donc continue en 2 et on a donc :

(

²

)

²

lim2 5 10 2 5 2 10 4 10 10 4

x x x

→ − + = − × + = − + = . La continuité en 4 de la fonction racine carrée nous permet alors d’écrire :

4

lim 4 2

X X

→ = = . On tire de ce qui précède : ²

2

lim 5 10 2

x x x

→ − + = et

enfin : lim2

(

² 5 10 2

)

2 2 0

x x x

→ − + − = − = .

Comme

( )

lim 22 2 2 0

x x

→ − = − = , nous avons donc affaire à une forme indéterminée du type « 0 0 ^».

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La racine carrée au numérateur est « gênante ». Comme elle apparaît dans une somme, nous utilisons classiquement l’expression conjuguée. Pour tout réel x strictement supérieur à 2, on a :

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2

2 2 2

2

2

2

2

2

5 10 2 5 10 2

5 10 2

2 2 5 10 2

5 10 2

2 5 10 2

5 10 4

2 5 10 2

5 6

2 5 10 2

x x x x

x x

x x x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

x x x

− + − − + +

− + − =

− − − + +

− + −

= − − + +

− + −

= − − + +

− +

= − − + +

2 annule le numérateur et on obtient facilement l’autre racine : 3. Comme le coefficient de « x² » vaut 1, la factorisation est immédiate : ^x2−^5x+ =⁶

(

^x−²

)(

^x−³

)

. Il vient alors :

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

2 2

2

2

2

2

5 10 2 5 6

2 2 5 10 2

2 3

2 5 10 2

3 5 10 2 3

5 10 2

x x x x

x x x x

x x

x x x

x

x x

x

x x

− + − = − +

− − − + +

− −

= − − + +

= − −

− + +

= −

− + +

On a immédiatement :

( ) ( )

2 2

2

lim 3 lim 3 3 2 1

x x

x

x x

→ →

>

− = − = − =

On a vu que l’on avait : ²

2

lim 5 10 2

x x x

→ − + = . Il vient donc : lim2

(

² 5 10 2

)

2 2 4

x x x

→ − + + = + = . Il vient donc (rapport) :

( )

2

2 2

2 2

3 1

lim lim

5 10 2 4

x x

x x

f x x

x x

→ →

> >

= − =

− + + ^.

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On a alors :

f continue en 2

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

lim lim 2

2 1 1

6 4

8 4 6

8 10 10

8 5 4

x x

x x

f x f x f

m m m m

m

→ →

< >

⇔ = =

⇔ − =

⇔ − =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

A titre de complément, nous fournissons ci-dessous une représentation graphique de la fonction f (en rouge) pour 5

m=4.

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Novembre 2013

Résultat final

La fonction f définie sur \ par :

2

2

1 si 2

: 2

5 10 2

si 2 2

mx x

f x x

x x

x x

⎧ − ≤

⎪ +

⎪⎨

− + −

⎪ >

⎪ −

⎩ 6

est continue en 2 pour 5 m=4.