f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f , calculer f

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E1 sujet 2006

Au cours d'une étude sur les rythmes cardiaques, on note toutes les cinq minutes à partir du temps x = 0, correspondant au début de l'épreuve physique, le rythme cardiaque d'un sportif en pulsations par minute.

Les résultats obtenus ont permis de mettre en place un modèle mathématique étudié dans la partie A.

Partie A

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [ 0 ; 30 ] par : f ( x ) = − 2x + 60 + 32 ln ( x + 1 ).

permet d'estimer le rythme cardiaque à l'instant x exprimé en minutes.

1. f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f , calculer f ' ( x ) pour tout x dans l'intervalle [ 0 ; 30 ] et

vérifier que f ' ( x ) = 1 x

) x 15 ( 2

+− .

2. Sur l'intervalle [ 0 ; 30 ], étudier le signe de f ' ( x ).

En déduire le tableau de variation de f . On y fera figurer les valeurs exactes de f ( 0 ) , f ( 15 ) , f ( 30 ).

3. Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous, en arrondissant les valeurs à l'unité près : x 0 5 10 15 20 25 30

f ( x ) 114

4. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal en prenant pour unités graphiques : 2 cm pour 5 minutes sur l'axe des abscisses et 10 pulsations par minute sur l'axe des ordonnées.

Partie B

1. Au bout de combien de temps le rythme cardiaque est-il maximal ? Quelle valeur atteint-il ? 2. Quel est le rythme cardiaque du sportif au repos ?

3. A l'aide du graphique, répondre aux questions suivantes :

a . A quel instant le rythme est-il de 90 pulsations par minute ?

b. Dans les conditions de cette épreuve, on considère qu'une personne est en très bonne condition physique lorsque la durée pendant laquelle son cœur bat à plus de 1,5 fois sa vitesse au repos est inférieure à 20 minutes. Ce sportif est-il en très bonne condition physique ?

c. De même, une personne est considérée en mauvaise condition physique lorsque son rythme cardiaque atteint ou dépasse le double du rythme au repos. Ce sportif est-il en mauvaise condition physique ? Justifier.

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E2 Polynésie 2006 Partie A

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O ; Åi , Åj ).

La courbe C, donnée en annexe, est la représentation graphique de la fonction définie sur [ 0,25 ; 7 ] par f ( x ) = − x² + 10x − 9 − 8 ln ( x ).

1. Démontrer que, pour tout réel x de [ 0,25 ; 7 ] : f ' ( x ) = x

) 4 x )(

1 x (

2 − −

− .

Où f ' désigne la fonction dérivée de la fonction f.

2. Etudier le signe de f ' ( x ) suivant les valeurs de x dans l'intervalle [ 0,25 ; 7 ].

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. a. Recopier et compléter le tableau de valeurs ci dessous ( les résultats seront arrondis à 10^-4 ).

x 6,18 6,19 6,20 6,21 f ( x )

b. L'équation f ( x ) = 0 admet deux solutions 1 et α dans [ 0,25 ; 7 ].

A l'aide de la question précédente, donner sans justification un encadrement à 10^-2 de α.

c. Placer α sur le graphique.

Partie B application économique.

Une entreprise doit produire entre 10 et 70 pièces par jours.

On admet que, si x est la production journalière en dizaines de pièces, alors le bénéfice réalisé en milliers d'euros est f ( x ) , où f est la fonction étudiée dans la première partie avec x ∈ [ 1 ; 7 ].

1. Déterminer à l'aide de la courbe C de l'annexe, la quantité de pièces fabriquées par jour, à partir de laquelle l'entreprise commence à travailler à perte. Donner une valeur approchée de cette valeur à 1 près.

2. Par lecture graphique, indiquer la quantité de pièces que l'entreprise doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal.