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Soit f la fonction définie sur \ par :

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Academic year: 2022

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(1)

PanaMaths Juillet 2012

Soit f la fonction définie sur \ par :

( )

2

f x = ax + + bx c

où a, b et c sont trois réels ( a ≠ 0 ).

Etudier la convexité de la fonction f sur \ .

Analyse

Un exercice simple pour se familiariser avec l’étude de la convexité non pas d’une mais d’une famille de fonctions. On notera que la dérivée seconde de f est … très simple !

Résolution

La fonction f est dérivable sur \ en tant que fonction polynôme et pour tout x réel, on a :

( ) ( )

' 2

'' 2

f x ax b

f x a

= +

=

Ainsi, le signe de f''

( )

x est constant et identique à celui de a. D’où la discussion :

• Si a>0. Pour tout x réel, f ''

( )

x >0 et la fonction f est convexe sur \.

• Si a<0. Pour tout x réel, f ''

( )

x <0 et la fonction f est concave sur \.

Résultat final

Si a>0, la fonction f est convexe sur \ et si a<0, la fonction f est concave sur \.

Références

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