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Soit f la fonction définie sur \ par :

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Academic year: 2022

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(1)

PanaMaths Octobre 2011

Soit f la fonction définie sur \ par :

( )

2

3

5

2 f x x

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + Déterminer la dérivée ' f de la fonction f.

Analyse

On identifie une fonction composée et on la dérive en utilisant la formule du cours …

Résolution

On peut écrire : f =h gD avec, pour tout x réel :

•

( )

2 3

2 g x x

x

= −

+ ;

• h x

( )

=x5.

On a donc le schéma :

2

5

3 2

g

h

x x

x

X X

− 6 +

6 On a facilement (dérivée d’un rapport), pour tout x réel :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2 2

1 2 3 2

3 6 2

' 2 2 2

x x x

x x x

g x x x x

× + − − ×

− − + +

= = =

+ + +

Par ailleurs : h x'

( )

=5x4.

Finalement :

( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( ) ( )

( )

2 4 2 4

2 2 6

2 2

5 6 2 3

6 2 3

' ' ' 5

2 2 2

x x x

x x x

f x g x h g x

x x x

− + + −

− + + ⎛ − ⎞

= × = + × ×⎜⎝ + ⎟⎠ = +

(2)

PanaMaths Octobre 2011

Résultat final

La fonction dérivée de la fonction f définie sur \ par

5 2

: 3

2 f x x

x

⎛ − ⎞

⎜ + ⎟

⎝ ⎠

6 est la fonction f '

définie sur \ par

( ) ( ) ( )

( )

2 4

2 6

5 6 2 3

' :

2

x x x

f x x

x

− + + −

6 + .

Références

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