Exercice 1On considère la fonction f définie sur IR par f(x) =

Exercice 1

On considère la fonction f définie sur IR par f(x) = x+1−e^−x 1) a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que la droite D : y = x +1 est une asymptote de (C_f) _{au V(+ ∞ )} c) Calculer lim

x→−∞

f(x)

x .Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

d) Construire (C_f) dans un repère orthonormé R =

(O, i, ⃗ ⃗ j)

2) a) Calculer en cm² l’aire An de la région du plan limitée par la courbe (C_f) et les droites : D : y = x+1 , Δ : x = 0 et ^Δ ’ : x = n. (n ^¿ 1)

b) Calculer ^{n→+∞lim An}

3) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l’on précisera.

b) En déduire que l’équation f(x) = 1 admet une unique solution ^α c) Tracer la courbe (C’) de f⁻¹ dans le même repère.

d) Calculer

∫

^{f (x )dx}

∫

^f

^{( x ) dx}

Exercice 2

I) Soit g la fonction définie sur ^ , par : g(x)=1−2x+e^2x dont le tableau de variation est le suivant x −∞ 0 +∞

g +∞

+∞

g (0) 1) Calculer g (0)

2) En déduire le signe de g

II)On considère la fonction f définie sur ^ par : f(x)=x+2+x e^−2x .

On appelle C sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthonormé ^{( ; , )O i j } 1¿Calculer lim

x →−∞f(x)et montrer que lim

x →+∞f(x)=+∞ 2¿a¿Montrer pour tout x de , f^'(x)=g(x)

e^2x b) Dresser le tableau des variations de f.

3)Montrer que f réalise une bijection de ℝ sur un intervalle J que l’on précisera.

On note C ’ la courbe de la fonction réciproque de f

4) a) Démontrer que la droite D d'équation y = x + 2 est une asymptote à f au voisinage de +∞.

b) Étudier la position relative de C par rapport à D.

c)Montrer que C admet une branche parabolique que l’on précisera au voisinage de −∞

5) Tracer D, C et C’ dans le repère ^{( ; , )O i j } Exercice 3

I)Soit g la fonction définie sur]0 ; + ∞[ par g(x)=x³−1+2 lnx . 1)Dresser le tableau de variation de g puis Calculer g(1).

2)Déterminer le signe de g(x) sur l’intervalle] 0 ; + ∞ [

par:f(x)=x−1−lnx x² .

II¿On considèrela fonction f définie sur¿0;+∞¿

On appelle (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O ,i ,⃗ ⃗j) ^. (Unités : 3 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

x →0^+¿f(x)et lim

x →+∞f(x) 1¿a¿Déterminerlim

¿

¿

b) Montrer que la droite (D) d'équation y=x−1 est asymptote oblique à (C).

c)Y a-t-il une autre asymptote à (C) ? Si oui, donner son équation.

2)a) Calculer les coordonnées du point d'intersection entre l'asymptote (D) et la courbe (C).

b) Etudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (D).

3¿a¿Montrer que pour tout x strictement positif:f^'(x)=g(x) x³

b¿En déduire pour tout x strictement positif≤tableau de variationde f 4) Tracer dans le repère (O ,i ,⃗ ⃗j) la courbe (C) et la droite (D).

5¿a¿Montrer que la fonction H définie par:H(x)=−1

x (1+lnx)est une primitive de la par:h(x)=lnx

x² . fonction h définie sur¿0;+∞¿

b) Soit � lair de domaine du plan limité par (D), (C) et les droites d’équation x=1et x=

√