Exercice n°1(6.5pts) Soit f la fonction définie sur IR par f(x)=

Prof :B.Anis

L.S.ElKsour Devoir de contrôle n°2

Durée :2h Niveau :3

Tech

A.S :2017-2018

Exercice n°1(6.5pts)

Soit f la fonction définie sur IR par f(x)= ^𝑥𝑥 _𝑥𝑥

⁻¹ ₊₁ .Soit ( C

) sa

représentation graphique dans un repère orthonormé du plan.

1)Vérifier que f (x)=1 − _𝑥𝑥

² ₊₁ ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐼𝐼𝐼𝐼 .

2)Déterminer lim _{𝑥𝑥→+∞} 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑒𝑒 lim _{𝑥𝑥→−∞} 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.

3)Justifier que f est continu sur IR.

4)Montrer que l’équation f(x)= ¹ ₂ admet au moins une solution 𝛼𝛼 ∈ � ³ ₂ , 2� .

Exercice n°2(6.5pts)

Soit f la fonction définie sur IR\{1} par :

f(x)=

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ ^{√𝑥𝑥+3−2} _𝑥𝑥−1 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 1

𝑥𝑥

−1

2𝑥𝑥

+4𝑥𝑥−6 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 2 ≤ 𝑥𝑥 < 1

𝑥𝑥

+2𝑥𝑥

√2−𝑥𝑥−2 + 𝑎𝑎 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < −2

1)Calculer lim _𝑥𝑥→1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑒𝑒𝑒𝑒 lim _𝑥𝑥→1

𝑓𝑓(𝑥𝑥) .f admet-elle une limite en1.

2)Déterminer le réel a pour que f soit continue en(- 2).

3)Justifier que f est continue sur chacun des intervalles

]1, +∞[ 𝑒𝑒𝑒𝑒 ] −2,1[ .

Soit ABCD un carré de centre O et de coté 4.I et J sont les points tel que : 𝐴𝐴𝐼𝐼 ����⃗ = ¹ ₄ 𝐴𝐴𝐴𝐴 �����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐷𝐷𝐷𝐷 ����⃗ = ¹ ₄ 𝐷𝐷𝐴𝐴 �����⃗ . H le point tel que AIHJ est un

rectangle et le point E tel que symétrique de C par rapport à D.

Exercice n°3(7pts)

1)a)Calculer 𝐴𝐴𝐼𝐼 ����⃗ . 𝐴𝐴𝐴𝐴 �����⃗ ; 𝐼𝐼𝐷𝐷 ���⃗ . 𝐴𝐴𝐷𝐷 �����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑂𝑂𝐴𝐴 �����⃗ . 𝐶𝐶𝐷𝐷 �����⃗ . b)Calculer 𝐷𝐷𝐶𝐶 ����⃗ . 𝐷𝐷𝐽𝐽 ����⃗ .En déduire cos( 𝐽𝐽𝐷𝐷̂𝐶𝐶 ) 2)a)Calculer 𝐻𝐻𝐶𝐶 �����⃗ . 𝐼𝐼𝐴𝐴 ����⃗ 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻𝐶𝐶 �����⃗ . 𝐴𝐴𝐷𝐷 ����⃗ .

b)En déduire (HC ) ⊥ (IJ)

3)a)Montrer que 𝑀𝑀𝐴𝐴 ������⃗ . 𝑀𝑀𝐶𝐶 ������⃗ = 𝑀𝑀𝑂𝑂 ² − 8

b)Déduire l’ensemble F= �𝑀𝑀 ∈ 𝑃𝑃 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑒𝑒 𝑀𝑀𝐴𝐴 ������⃗ . 𝑀𝑀𝐶𝐶 ������⃗ = −4�

Bon travail