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I. f est la fonction définie sur par f (x ) −4 x 6 6 .

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Texte intégral

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°9 2

nde

6.

Pour le lundi 19 mars 2018.

SUJET A POUR LES ÉLÈVES NE DEMANDANT PAS UNE PREMIÈRE S

I. f est la fonction définie sur par f (x ) −4 x 6 6 .

1. Justifier que f est une fonction affine, donner son coefficient directeur et son ordonnée à l origine.

2. Donner le sens de variation de f. Justifier.

3. Construire la représentation graphique de f.

4. Résoudre graphiquement puis par le calcul f( x) 2. Laisser les traits de lecture sur le graphique.

5. Construire le tableau de signe de la fonction f.

II. Un client qui prend régulièrement le taxi a le choix entre deux formules.

Formule A : Un abonnement à l’année plus un prix pour chaque km parcouru.

Formule B : Un prix pour chaque km parcouru.

Il a calculé que pour 110km par an, la formule A lui reviendrait à 132€ et la formule B à 143€ et que pour 60km par an, la formule A lui reviendrait à 122€ et la formule B à 78€.

Soit x le nombre de km parcourus par an. On note f( x) le prix à payer avec la formule A et g (x ) le prix à payer avec la formule B.

1. Exprimer les données de l’énoncé en utilisant les fonctions f et g (4 égal it és du t ype f (…)=… ou g (…) …)

2. D après l énoncé, quelle est la nature de la fonction f ? De la fonction g ? Justifier.

3. Déterminer les expressions de f( x) et g (x ) en fonction de x.

4. Tracer sur un même graphique les représentations graphiques des fonctions f et g.

5. Le client parcourt 80 km par an. Déterminer graphiquement puis par le calcul quelle est la formule la plus avantageuse.

6. Déterminer graphiquement puis par le calcul à partir de combien de km la formule A est la plus avantageuse.

SUJET B POUR LES ÉLÈVES DEMANDANT UNE PREMIÈRE S

I. On a mis en culture des bactéries. Au départ, il y a 6000 bactéries. On injecte un produit toxique et, après 3h15minutes, la population de bactéries est de 1476. On admet que l évolution de la population de bactéries est une fonction affine en fonction de la durée en heures. Déterminer au bout de combien de temps (à la seconde près) la population de bactéries sera nulle.

II.

Rappel : si a et b sont des réels positifs ou nuls, on a

ab a b et si b est non nul,

a b

a b Simplifier en dét aill ant les calculs (vérifier l es résult at s à l a calculatri ce) :

A 32 B 2 32 – 4 18 + 3 8 C 50  2 28

14  20

III.

Méthode : pour écrire sans racine au dénominateur, on multiplie le numérateur et le dénominateur par

la quantité conjuguée du dénominateur.

Exemples :

3 8

3 8 8 8

3 8 8

2 3

4 2

( 3 3 ) ( 4 2 ) ( 4 2 ) ( 4 2 )

12 4 3 3 2 6

4² 2²

12 4 3 3 2 6

16 2

12 4 3 3 2 6

14

A vous : Calculer de même :

2 1

3 ;

1

2

et 5 1

2 5 . Vérifier à la calculatrice.

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°9. 2

nde

6.

SUJET A POUR LES ÉLÈVES NE DEMANDANT PAS UNE PREMIÈRE S

I.

1. Pour tout x de , f( x) 4 x 6 6

4 x 6

6 6

2 3 x 1.

f est donc une fonction affine, son coefficient directeur est

2

3 et son ordonnée à l origine est 1.

2. Le coefficient directeur de f est 2

3 0 donc f est décroissante.

3. f est affine donc sa représentation graphique est une droite.

4. Graphiquement : il semble que f(x ) 2 pour x  ] 1,5[.

Par le calcul : f( x) 2  2

3 x 1 2 f( x) 2  2

3 x 1 f( x) 2  x 1

2 3

2

3 0 donc on change le sens de l inégalité.

f( x) 2  x 1,5 Ainsi, f(x ) 2 pour x  ] 1,5[.

5. On peut construire le tableau de signe de la fonction f :

x

3/2 + 2

3 x 1 0  2

3 x 1 x 1

2 3

3 2 f est décroissante donc puis .

f(x)

II.

1. f(110) 132 et g(110) 143 ; f (60) 122 et g (60) 78.

2.

f est une fonction affine définie par f

(x ) a x b où a est le prix par km et b le montant de l'abonnement.

g est une fonction linéaire définie par g(

x) cx où c est le prix par km.

3. a f(110) f(60) 110 60

132 122 110 60 0,2

f (110) 132 donc 0,2 110 b 132, c'est-à-dire b 132 0,2 110 110.

f est donc définie par f(x) 0,2x

110.

De même, on a g(110) 143, c'est-à-dire 110c 143. Alors c 143

110 1,3.

On vérifie : 60 1,3 78.

g est donc définie par g(x) 1,3x.

4. On place les points déterminés à la question 1.

5. Graphiquement : Pour x 80, la droite représentant la fonction g est en-dessous de celle représentant la fonction f. La formule B est donc plus avantageuse.

Par le calcul :

f (80) 0,2 80 110 126. Avec la formule A, 80km reviennent à 126 €.

g (80) 1,3 80 104. Avec la formule B, 80km reviennent à 104 €.

La formule B est donc plus avantageuse

6. Graphiquement : La droite représentant la fonction f est au-dessous de

celle représentant la fonction g lorsque x est supérieur à 100. La formule A

est donc avantageuse à partir de 100 km.

(3)

Par le calcul :

f (x ) g( x) 0,2x 110 1,3x 1,1x ‒110 x ‒110

‒1,1 x 100.

La formule A est donc avantageuse à partir de 100 km.

SUJET B POUR LES ÉLÈVES DEMANDANT UNE PREMIÈRE S

I. Soit f (x ) le nombre de bactéries après x heures. On admet que f est affine, c'est-à-dire que f( x) a x b où a et b sont des réels.

D après l énoncé, f (0) 6000 et f(3,25) 1476.

Alors a 6000 1476

0 3,25 1392.

f(0) 6000 donc b 6000 (ordonnée à l origine).

Ainsi, pour tout x 0, f( x) 1392x 6000.

f( x) 0  1392x 6000 0  x 6000

1392 4,310344 4,31344 heures 4h 18min 37s.

La population de bactéries sera nulle après 4 heures 18 minutes 37 secondes.

II. A 32 16 2 16 2 4 2

B 2 32 – 4 18 + 3 8 2 16 2

4 9 2 3 4 2 2 4 2 4 3 2 3 2 2 B 8 2 12 2 6 2 2 2 .

C 50  2 28 14  20

25 2 2 4 7 2 7 20

5 2 2 2 7 2 7 20

20 2 7

20 2 7 1

III.

2 1

3 ( 2 1 ) 3

3 3

6 3

3 1

2

2

2 2

2 2 5 1

2 5

( 5 1 ) ( 2 5 ) ( 2 5 ) ( 2 5 )

2 5 2 5 5

2² ( 5 )

2

7 3 5 4 5

7 3 5

1 7 3 5

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